Проектная работа графы. Презентация к исследовательской работе по математике "теория графов в решении задач"
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
«В математике следует помнить не формулы, а процесс мышления…»
Е. И. Игнатьев
Теория графов в настоящее время является интенсивно развивающимся разделом математики. Это объясняется тем, что в виде графовых моделей описываются многие объекты и ситуации, что очень важно для нормального функционирования общественной жизни. Именно этот фактор определяет актуальность их более подробного изучения. Поэтому тематика данной работы достаточно актуальна.
Цель исследовательской работы: выяснить особенности применения теории графов в различных областях знаний и при решении логических задач.
Цель определила следующие задачи:
познакомиться с историей теории графов;
изучить основные понятия теории графов и основные характеристики графов;
показать практическое применение теории графов в различных областях знаний;
рассмотреть способы решения задач с помощью графов и составить собственные задачи.
Объект исследования: сфера деятельности человека на предмет применения метода графов.
Предмет исследования: раздел математики «Теория графов».
Гипотеза. Мы предполагаем, что изучение теории графов может помочь учащимся решать логические задачи по математике, что определит их дальнейшие интересы.
Методы исследовательской работы:
В ходе нашего исследования были использованы такие методы, как:
1) Работа с различными источниками информации.
2) Описание, сбор, систематизация материала.
3) Наблюдение, анализ и сравнение.
4) Составление задач.
Теоретическая и практическая значимость данной работы определяется тем, что результаты могут быть использованы на информатике, математике, геометрии, черчении и классных часах, а также для широкого круга читателей, заинтересованных данной темой. Исследовательская работа имеет выраженную практическую направленность, так как в работе автором представлены многочисленные примеры применения графов во многих областях знаний, составлены свои задачи. Данный материал можно использовать на факультативных занятиях по математике.
ГЛАВА I. ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ ОБЗОР МАТЕРИАЛА ПО ТЕМЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
Теория графов. Основные понятия
В математике «граф» можно изобразить в виде картинки, которая представляет собой некоторое количество точек, соединенных линиями. «Граф» происходит от латинского слова «графио» - пишу, как и известный дворянский титул.
В математике определение графа дается так:
Термин «граф» в математике определяется следующим образом:
Граф - это конечное множество точек - вершин , которые могут быть соединены линиями - ребрами .
В качестве примеров графов могут выступать чертежи многоугольников, электросхемы, схематичное изображение авиалиний, метро, дорог и т.п. Генеалогическое дерево также является графом, где вершинами служат члены рода, а родственные связи выступают в качестве ребер графа.
Рис. 1 Примеры графов
Число ребер, которое принадлежит одной вершине, называется степенью вершины графа . Если степень вершины нечетное число, вершина называется - нечетной . Если степень вершины число четное, то и вершина называется четной .
Рис. 2 Вершина графа
Нуль-граф - это граф, состоящий только из изолированных вершин, не соединенных ребрами.
Полный граф - это граф, каждая пара вершин которого соединена ребром. N-угольник, в котором проведены все диагонали, может служить примеров полного графа.
Если в графе выбрать такой путь, когда начальная и конечная точка совпадают, то такой путь называется циклом графа . Если прохождение через каждую вершину графа происходит не более одного раза, то цикл называется простым .
Если в графе каждые две вершины связаны ребром, то это связанный граф. Граф называется несвязанным , если в нем есть хотя бы одна пара несвязанных вершин.
Если граф связанный, но не содержит циклов, то такой граф называетсядеревом .
Характеристики графов
Путь графа - это такая последовательность, в которой каждые два соседних ребра, имеющих одну общую вершину, встречаются только один раз.
Длина кратчайшей цепи из вершин a и b называется расстоянием между вершинами a и b.
Вершина а называется центром графа, если расстояние между вершиной а и любой другой вершиной является наименьшим и из возможных. Такое расстояние есть радиус графа.
Максимально возможное расстояние между двумя любыми вершинами графа называется диаметром графа.
Раскраска графов и применение.
Если внимательно посмотреть на географическую карту, то можно увидеть железные или шоссейные дороги, которые являются графами. Кроме этого на катре есть граф, который состоит из границ между странами (районами, областями).
В 1852 году английскому студенту Френсису Гутри поставили задачу раскрасить карту Великобритани, выделив каждое графство отдельным цветом. Из-за небольшого выбора красок Гутри использовал их повторно. Он подбирал цвета так, чтобы те графства, которые имеют общий участок границы, обязательно окрашивались в разные цвета. Возник вопрос, какое наименьшее количество красок необходимо для раскрашивания различных карт. Френсис Гутри предположил, хотя и не смог доказать, что четырех цветов будет достаточно. Эта проблема бурно обсуждалась в студенческих кругах, но позже была забыта.
«Проблема четырех красок» вызывала все больший интерес, но так и не была решена, даже выдающимися математиками. В 1890 году английским математиком Перси Хивудом было доказано, что для раскрашивания любой карты будет достаточно пяти красок. А только 1968 году смогли доказать, что для раскрашивания карты, на которой изображено меньше сорока стран, будет достаточно 4 цветов.
В 1976 году эта задача была решена при использовании компьютера двумя американскими математиками Кеннетом Аппелем и Вольфгантом Хакеном. Для ее решения все карты были поделены на 2000 типов. Для компьютера была создана программа, которая исследовала все типы с целью выяления таких карт, для раскрашивания которых будет недостаточно четырех красок. Только три типа карт компьютер исследовать не смог, поэтому математики изучали их самостоятельно. В результате было установлено, что для раскрашивания всех 2000 типов карт будет достаточно 4 красок. Им было объявлено о решении проблемы четырех красок. В этот день почтовое отделение при университете, в котором работали Аппель и Хакен на всех марках ставило штемпель со словами: «Четырех красок достаточно».
Можно представить задачу о четырех красках несколько иначе.
Для этого рассмотрим произвольную карту, представив ее виде графа: столицы государств являются вершинами графа, а ребра графа связывают те вершины (столицы), государства которых имеют общую границу. Для получения такого графа формулируется следующая задача - необходимо раскрасить граф с помощью четырех цветов так, чтобы вершины, имеющие общее ребро были раскрашены разными цветами.
Эйлеровы и Гамильтоновы графы
В 1859 году английским математиком Уильямом Гамильтоном была выпущена в продажу головоломка - деревянный додекаэдр (двенадцатигранник), двадцать вершин которого были обозначены гвоздиками. Каждая вершина имела название одного из крупнейших городов мира - Кантон, Дели, Брюссель, и т.д. Задача заключалась в нахождении замкнутого пути, который проходит по ребрам многогранника, побывав в каждой вершине только один раз. Для отмечания пути использовался шнур, который цепляли за гвоздики.
Гамильтоновым циклом называется граф, путь которого является простым циклом, который проходит через все вершины графа по одному разу.
На реке Прегель расположен город Калининград (бывший Кенигсберг). Река омывала два острова, которые между собой и с берегами были соединены мостами. Старых мостов сейчас уже нет. Память о них осталась только на карте города.
Однажды один житель города спросил у своего знакомого, можно ли пройти по всем мостам, побывать на каждом только один раз и вернуться к тому месту откуда началась прогулка. Эта задача заинтересовала многих горожан, но решить ее никто не смог. Этот вопрос вызвал заинтересованность ученных многих стран. Решение проблемы получил математик Леонард Эйлер. Кроме этого он сформулировал общий подход к решению таких задач. Для этого он превратил карту в граф. Вершинами этого графа стала суша, а ребрами - мосты, ее соединяющие.
При решении задачи про мосты Кенигсберга Эйлеру удалось сформулировать свойства графов.
Начертить граф, начав движение с одной вершины и окончив в той же вершине одним росчерком (дважды не проводя по одной и той же линии и не отрывая карандаша от бумаги) возможно в том случае, если все вершины графа четные.
Если есть граф с двумя нечетными вершинами, то его вершины тоже можно соединить одним росчерком. Для этого нужно начать с одной, а закончить на другой любой нечетной вершине.
Если есть граф с числом нечетных вершин больше двух, то граф невозможно начертить одним росчерком.
Если применять эти свойства на задачу о мостах, то можно увидеть, что все вершины исследуемого графа нечетные, значит, этот граф нельзя соединить одним росчерком, т.е. невозможно пройти по всем мостам один раз и закончить путь в том месте, где он был начат.
Если граф имеет цикл (не обязательно простой), содержащий все рѐбра графа по одному разу, то такой цикл называется Эйлеровым циклом . Эйлерова цепь (путь, цикл, контур) — цепь (путь, цикл, контур), содержащая все рѐбра (дуги) графа по одному разу.
ГЛАВА II. ОПИСАНИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ И ЕГО РЕЗУЛЬТАТЫ
2.1. Этапы проведения исследования
Для проверки гипотезы исследование включало три этапа (таблица 1):
Этапы исследования
Таблица 1.
|
Используемые методы |
|||
|
Теоретическое исследование проблемы |
Изучить и проанализировать познавательную и научную литературу. |
самостоятельное размышление; изучение информационных источников; поиск необходимой литературы. |
|
|
Практическое исследование проблемы |
Рассмотреть и проанализировать области практического применения графов; |
наблюдение; анализ; сравнение; анкетирование. |
|
|
3 этап. Практическое использование результатов |
Обобщить изученную информацию; |
систематизация; отчет (устный, письменный, с демонстрацией материалов) |
сентябрь 2017 г. |
2.2. Области практического применения графов
Графы и информация
Теория информации широко использует свойства двоичных деревьев.
Например, если нужно закодировать некоторое число сообщений в виде определенных последовательностей нулей и единиц различной длины. Код считается наилучшим, для заданной вероятности кодовых слов, если средняя длина слов наименьшая в сравнении другими распределениями вероятности. Для решения такой задачи Хаффман предложил алгоритм, в котором, код представляется деревом-графом в рамках теории поиска. Для каждой вершины предлагается вопрос, ответом на который может быть либо, «да», либо «нет» - что соответствует двум ребрам, выходящим из вершины. Построение такого дерева завершается после установления того, что требовалось. Это может применяться в интервьюировании нескольких человек, когда заранее неизвестен ответ на предыдущий вопрос, план интервью представляется в виде двоичного дерева.
Графы и химия
Еще А. Кэли рассмотрел задачу о возможных структурах насыщенных (или предельных) углеводородов, молекулы которых задаются формулой:
CnH 2n+2
Все атомы углеводорода 4-хвалентны, все атомы водорода 1-валентны. Структурные формулы простейших углеводородов показаны на рисунке.
Каждую молекулу предельного углеводорода можно представить в виде дерева. При удалении всех атомов водорода, атомы углеводорода, которые остались, образуют дерево с вершинами, степень которых не выше четырех. Значит, количество возможных искомых структур (гомологов данного вещества) равняется числу деревьев, степени вершин которых, не больше 4. Это задача сводится к задаче о перечислении деревьев отдельного вида. Д. Пойа рассмотрел эту задачу и ее обобщения.
Графы и биология
Процесс размножения бактерий - это одна из разновидностей ветвящихся процессов, встречающихся в биологической теории. Пусть каждая бактерия по истечению определенного времени или погибает, или делится на две. Следовательно, для одной бактерии мы получим двоичное дерево размножения ее потомства. Вопрос задачи заключается в следующем, какое количество случаев содержит k потомков в n-м поколение одной бактерии? Данное соотношение в биологии носит название процесс Гальтона-Ватсона, которое обозначает необходимое количество нужных случаев.
Графы и физика
Сложная утомительная задача для любого радиолюбителя - создание печатных схем (пластина диэлектрика - изолирующего материала и вытравленные дорожки в виде металлических полосок). Пересечение дорожек происходит только в определенных точках (местах установления триодов, резисторов, диодов и пр.) по определенным правилам. В результате перед ученым стоит задача вычертить плоский граф, с вершинами в
Итак, все выше сказанное подтверждает практическую ценность графов.
Математика интернета
Интернет - всемирная система объединенных компьютерных сетей для хранения и передачи информации.
Сеть интернет можно представить в виде графа, где вершины графа - это интернет сайты, а ребра - это ссылки (гиперссылки), идущие с одних сайтов на другие.
Веб-граф (Интернет), имеющий миллиарды вершин и ребер, постоянно меняется - спонтанно добавляются и исчезают сайты, пропадают и добавляются ссылки. Однако, Интернет имеет математическую структуру, подчиняется теории графов и имеет несколько «устойчивых» свойств.
Веб-граф разрежен. Он содержит всего лишь в несколько раз больше ребер, чем вершин.
Несмотря на разреженность, интернет очень тесен. От одного сайта до другого по ссылкам, можно перейти за 5 - 6 кликов (знаменитая теория «шести рукопожатий»).
Как мы знаем, степень графа - это число ребер, которым принадлежит вершина. Степени вершин веб-графа распределены по определенному закону: доля сайтов (вершин) с большим количеством ссылок (ребер) мала, а сайтов с малым количеством ссылок - велика. Математически это можно записать так:
где - доля вершин определенной степени, - степень вершины, - постоянная, независящая от числа вершин веб-графа, т.е. не меняется в процессе добавления или удаления сайтов (вершин).
Этот степенной закон является универсальным для сложных сетей - от биологических до межбанковских.
Интернет как целое устойчив к случайным атакам на сайты.
Так как уничтожение и создание сайтов происходит независимо и с одинаковой вероятностью, то и веб-граф, с вероятность близкой к 1, сохраняет свою целостность и не разрушается.
Для изучения интернета необходимо строить модель случайного графа. Эта модель должна обладать свойствами реального интернета и не должна быть слишком сложной.
Эта задача пока полностью не решена! Решение этой задачи - построения качественной модели интернета - позволит разработать новые инструменты для улучшения поиска информации, выявления спама, распространения информации.
Построение биологических и экономических моделей началось значительно раньше, чем возникла задача построения математической модели интернета. Однако достижения в развитии и изучении интернета, позволили ответить на многие вопросы, касающиеся всех этих моделей.
Математика интернета востребована многими специалистами: биологами (предсказание роста популяций бактерий), финансистами (риски возникновения кризисов) и т.п. Изучение подобных систем - один из центральных разделов прикладной математики и информатики.
г. Мурманск с помощью графа.
Когда человек приезжает в новый для него город, как правило, первое желание - это посетить главные достопримечательности. Но при этом запас времени зачастую ограничен, а в случае деловой поездки, совсем мал. Следовательно, необходимо планировать знакомство с достопримечательностями заранее. И в построении маршрута отлично помогут графы!
В качестве примера рассмотрим типичный случай прибытия в Мурманск из аэропорта в первый раз. Планируется посетить следующие достопримечательности:
1. Морской православный храм Спас-на-водах;
2. Свято-Никольский собор;
3. Океанариум;
4. Памятник коту Семену;
5. Атомный ледокол Ленин;
6. Парк Огни Мурманска;
7. Парк Долина Уюта;
8. Кольский мост;
9. Музей истории Мурманского морского пароходства;
10. Площадь Пяти углов;
11. Морской торговый порт
Вначале расположим эти места на карте и получим наглядное представление о местоположении и расстоянии между достопримечательностями. Сеть дорог достаточно развита, и перемещение на автомобиле не будет затруднительным.
Достопримечательности на карте (слева) и полученный граф (справа) показаны на соответствующем рисунке ПРИЛОЖЕНИЯ №1. Таким образом, новоприбывший вначале проедет около Кольского моста(и, при желании может пересечь его туда - обратно); затем отдохнет в Парке Огни Мурманска и Долине Уюта и отправится дальше. В итоге оптимальный маршрут составит:
С помощью графа можно также визуализировать схему проведения соцопросов. Примеры представлены в ПРИЛОЖЕНИИ №2. В зависимости от данных ответов опрашиваемому задают разные вопросы. Например, если в социологическом опросе №1 опрашиваемый считает математику важнейшей из наук, у него спросят, уверенно ли он чувствует себя на уроках физики; если же он считает иначе, второй вопрос будет касаться востребованности гуманитарных наук. Вершинами такого графа являются вопросы, а ребрами - варианты ответов.
2.3. Применение теории графов при решении задач
Теория графов применяется при решении задач из многих предметных областей: математика, биология, информатика. Мы изучили принцип решения задач с помощью теории графов и составили собственные задачи по теме исследования.
Задача №1.
Пятеро одноклассников, на встрече выпускников, обменялись рукопожатиями. Сколько всего было сделано рукопожатий?
Решение: Обозначим одноклассников вершинами графа. Соединим каждую вершину линиями, с четырьмя другими вершинам. Получаем 10 линий, это и есть рукопожатиями.
Ответ: 10 рукопожатий (каждая линия означает одно рукопожатие).
Задача №2.
У моей бабушке в деревне, возле дома растут 8 деревьев: тополь, дуб, клен, яблоня, лиственница, береза, рябина и сосна. Рябина выше лиственницы, яблоня выше клена, дуб ниже березы, но выше сосны, сосна выше рябины, береза ниже тополя, а лиственница выше яблони. В какой последовательности расположатся деревья по высоте от самого высокого к самому низкому.
Решение:
Деревья - это вершины графа. Обозначим их первой буквой в кружочке. Проведем стрелки от низкого дерева к более высокому. Сказано, что рябина выше лиственницы, то стрелку ставим от лиственницы к рябине, берёза ниже тополя, то стрелку ставим от тополя к берёзе и т.п. Получаем граф, где видно, что самое низкое дерево - клен, потом яблоня, лиственница, рябина, сосна, дуб, береза и тополь.
Ответ: клен, яблоня, лиственница, рябина, сосна, дуб, береза и тополь.
Задача №3.
У Мамы есть 2 конверта: обычный и авиа, и 3 марки: квадратная, прямоугольная и треугольная. Сколькими способами Мама может выбрать конверт и марку, чтобы отправить письмо Папе?
Ответ: 6 способов
Задача №4.
Между населенными пунктами A, B, C, D, E построены дороги. Нужно определить длину кратчайшего пути между пунктами А и Е. Передвигаться можно только по дорогам, длина которых указана на рисунке.
Задача №5.
Тремя одноклассника - Максим, Кирилл и Вова решили заняться спортом и прошли отбор спортивные секции. Известно, что в баскетбольную секцию претендовал 1 мальчик, а в хоккей хотели играть трое. Максим пробовался только в 1 секцию, Кирилл отбирался во все три секции, а Вова в 2. Кого из мальчиков в какую спортивную секцию отобрали?
Решение: Для решения задачи применим графы
Баскетбол Максим
Футбол Кирилл
Хоккей Вова
Так как к баскетболу идет лишь одна стрелка, то Кирилла отобрали в сецию баскетбола . Тогда Кирилл не будет играть в хоккей , а значит, в хоккейную секцию отобрали Максима, который пробовался только в эту секцию, тогда Вова будет футболистом .
Задача №6.
Из-за болезни некоторых преподавателей, завучу школы, требуется составить фрагмент расписания занятий в школе хотя бы на один день, с учетом следующих обстоятельств:
1. Преподаватель ОБЖ согласен дать только последний урок;
2. Преподаватель географии может дать либо второй, либо третий урок;
3. Математик готов дать либо только первый, либо только второй урок;
4. Преподаватель физики может дать либо первый, либо второй, либо третий уроки, но только в одном классе.
Какое расписание может составить завуч школы, чтобы оно удовлетворяло всем преподавателей?
Решение: Эту задачу можно решить перебирая все возможные варианты, но проще, если начертить граф.
1. 1) физика 2. 1) математика 3. 1) математика
2) математика 2) физика 2) география
3) география 3) география 3) физика
4) ОБЖ 4) ОБЖ 4) ОБЖ
Заключение
В данной исследовательской работе была подробно изучена теория графов, доказана гипотеза, что изучение графов может помочь в решении логических задач, кроме того, рассмотрена теорию графов в разных областях науки и составлены свои 7 задач.
Использование графов при обучении обучающихся поиску решения задач позволяет совершенствовать графические умения учащихся и связывать рассуждения специальным языком конечного множества точек, некоторые из которых соединены линиями. Все это способствует проведению работы по обучению учащихся мышлению.
Эффективность учебной деятельности по развитию мышления во многом зависит от степени творческой активности учащихся при решении математических задач. Следовательно, необходимы математические задачи и упражнения, которые бы активизировали мыслительную деятельность школьников.
Применение задач и использованием элементов теории графов на факультативных занятиях в школе как раз и преследует цель активизации мыслительной деятельности учащихся. Мы считаем, что практический материал по нашему исследованию может быть полезен на факультативных занятиях по математике.
Таким образом, цель исследовательской работы достигнута, задачи решены. В перспективе мы планируем продолжить изучение теории графов и разработать свои маршруты, например, с помощью графа создать экскурсионный маршрут для школьного автобуса ЗАТО Александровск по музеям и памятным местам г. Мурманска.
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Березина Л. Ю. «Графы и их применение» - М.: «Просвещение», 1979
Гарднер М. «Математические досуги», М. «Мир», 1972
Гарднер М. «Математические головоломки и развлечения», М. «Мир», 1971
Горбачев А. «Сборник олимпиадных задач» - М. МЦНМО, 2005
Зыков А. А. Основы теории графов. — М.: «Вузовская книга», 2004. — С. 664
Касаткин В. Н. «Необычные задачи математики», Киев, «Радяньска школа», 1987
Математическая составляющая / Редакторы-составители Н.Н. Андреев, С.П. Коновалов, Н.М. Панюшкин. - М.: Фонд «Математические этюды» 2015 г. - 151 с.
Мельников О. И. «Занимательные задачи по теории графов», Мн. «ТетраСистемс»,2001
Мельников О.И. Незнайка в стране графов: Пособие для учащихся. Изд. 3-е, стереотипное. М.: КомКнига, 2007. — 160 с.
Олехник С. Н., Нестеренко Ю. В., Потапов М. К. «Старинные занимательные задачи», М. «Наука», 1988
Оре О. «Графы и их применения», М. «Мир», 1965
Харари Ф. Теория графов / Пер.с англ. и предисл. В. П. Козырева. Под ред. Г. П. Гаврилова. Изд. 2-е. - М.: Едиториал УРСС, 2003. - 296 с.
ПРИЛОЖЕНИЕ №1
Составление оптимального маршрута посещения главных достопримечательностей
г. Мурманск с помощью графа.
Оптимальный маршрут составит:
8. Кольский мост6. Парк Огни Мурманска7. Парк Долина Уюта2. Свято-Никольский собор10. Площадь Пяти углов5. Атомный ледокол Ленин9. Музей истории Мурманского морского пароходства11. Морской торговый порт1. Морской православный храм Спас-на-водах4. Памятник коту Семену3. Океанариум.
ПУТЕВОДИТЕЛЬ ПО ДОСТОПРИМЕЧАТЕЛЬНОСТЯМ МУРМАНСКА
ПРИЛОЖЕНИЕ №2
Социологические опросы № 1, 2
Титов Максим
1. Рассмотреть все маршруты Нижнегорского района.
2. По данным маршрутов составить новые маршруты.
3. Показать являются ли новые маршруты Эйлеровыми графами.
4. Построить матрицу смежности для новых маршрутов.
5. Найти кратчайшие расстояния от пгт.Нижнегорского до населенных пунктов.
Скачать:
Предварительный просмотр:
ВВЕДЕНИЕ ……………………………………………………………………………….3
РАЗДЕЛ 1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ГРАФОВ …………………………………5
- Основные понятия теории графов......…………………...……...…………5
- Характеристика Эйлеровых графов …………………………...…………...7
- Поиск кратчайшего расстояния в графе (Алгоритм Дейкстри)…………..8
РАЗДЕЛ 2. МАРШРУТЫ НИЖНЕГОРСКОГО РАЙОНА ……………………..……10
- Маршруты Нижнегорского района …..…..……………………………….10
- Исследование маршрутов Нижнегорского района ……..………………..11
ЗАКЛЮЧЕНИЕ ………………………………………………………………………….17
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ …………………………………….19
ВВЕДЕНИЕ
Графы - это замечательные математические объекты, с помощью, которых можно решать математические, экономические и логические задачи. Также можно решать различные головоломки и упрощать условия задач по физике, химии, электронике, автоматике. Графы используют при составлении карт и генеалогических древ. Графами являются блок-схемы программ для ЭВМ, сетевые графики строительства, где вершины – события, означающие окончания работ на некотором участке, а ребра, связывающие эти вершины, - работы, которые возможно начать по совершении одного события и необходимо выполнить для совершения следующего. Одними из самых распространённых графов являются схемы линий метрополитена.
В математике даже есть специальный раздел, который так и называется: «Теория графов». Теория графов является частью как топологии, так и комбинаторики. То, что это топологическая теория, следует из независимости свойств графа от расположения вершин и вида соединяющих их линии. А удобство формулировок комбинаторных задач в терминах графов привела к тому, что теория графов стала одним из мощнейших аппаратов комбинаторики. При решении логических задач обычно бывает достаточно трудно держать в памяти многочисленные факты, данные в условии, устанавливать связь между ними, высказывать гипотезы, делать частные выводы и пользоваться ими.
Актуальность темы заключается в том, что теория графов в настоящее время является интенсивно развивающимся разделом дискретной математики. Это объясняется тем, что в виде графовых моделей описываются многие объекты и ситуации: коммуникационные сети, схемы электрических и электронных приборов, химические молекулы, отношения между людьми, всевозможные транспортные схемы и многое-многое другое. Очень важное для нормального функционирования общественной жизни. Именно этот фактор определяет актуальность их более подробного изучения.
Цель работы – исследование транспортных путей Нижнегорского района.
Задачи работы:
1 . Рассмотреть все маршруты Нижнегорского района.
2 . По данным маршрутов составить новые маршруты.
3. Показать являются ли новые маршруты Эйлеровыми графами.
4. Построить матрицу смежности для новых маршрутов.
5. Найти кратчайшие расстояния от пгт.Нижнегорского до населенных пунктов.
Объектом исследования является карта транспортных путей Нижнегорского района.
Практическая значимость данной работы в том, что она может быть использована на уроках при решении разных задач, а также в различных областях науки и в современной жизни.
Применяемые методы: поиск источников информации, наблюдение, сравнение, анализ, математическое моделирование.
С общим замыслом работы связана структура разделов. Основная часть состоит из трех глав. В первой рассмотрены основные понятия графов. Во второй главе исследуются маршруты Нижнегорского района.
При работе использовал ряд литературных источников: специальная литература по теории графов, познавательную литературу, различные научно-популярные, образовательные, специализированные журналы.
РАЗДЕЛ 1
ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ГРАФОВ
1.1. Основные понятия теории графов
Граф представляет собой непустое множество точек и множество отрезков, оба конца которых принадлежат заданному множеству точек. (Рис.1.1.)
Рис.1.1.
Вершина графа - точка, где могут сходиться/выходить рёбра и/или дуги.
Ребро графа - ребро соединяет две вершины графа.
Степень вершины - количество рёбер, выходящих из вершины графа.
Вершина графа, имеющая нечётную степень, называется нечетной, а чётную степень – чётной.
Если направление связи имеет значение, то линии снабжают стрелками, и в этом случае граф называется ориентированным графом, орграфом. (Рис.1.2.)
Рис.1.2.
Взвешенный граф - граф, каждому ребру которого поставлено в соответствие некое значение (вес ребра). (Рис.1.3.)
Рис. 1.3.
Графы, в которых построены все возможные ребра, называются полными графами. (Рис.1.4.)
Рис. 1.4.
Граф называется связным, если любые две его вершины могут быть соединены путем, т. е. последовательностью ребер, каждое следующее из которых начинается в конце предыдущего.
Матрица смежности – это матрица, элемент M[i] [j] которой равен 1, если существует ребро из вершины i в вершину j, и равен 0, если такого ребра нет (Рис.1.5. для графа на рис.1.1).
1.2. Характеристика Эйлеровых графов
Граф, который можно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги, называется эйлеровым. (рис.1.6.)
Такими графы названы в честь учёного Леонарда Эйлера.
Закономерность 1.
Невозможно начертить граф с нечетным числом нечетных вершин.
Закономерность 2.
Если все вершины графа четные, то можно не отрывая карандаш от бумаги («одним росчерком»), проводя по каждому ребру только один раз, начертить этот граф. Движение можно начать с любой вершины и закончить его в той же вершине.
Закономерность 3.
Граф, имеющий всего две нечетные вершины, можно начертить, не отрывая карандаш от бумаги, при этом движение нужно начать с одной из этих нечетных вершин и закончить во второй из них.
Закономерность 4.
Граф, имеющий более двух нечетных вершин, невозможно начертить «одним росчерком».
Фигура (граф), которую можно начертить, не отрывая карандаш от бумаги, называется уникурсальной.
Рис.1.6.
1.3. Поиск кратчайшего расстояния в графе (Алгоритм Дейкстри)
Задача: задана сеть дорог между городами, часть которых могут иметь одностороннее движение. Найти кратчайшие расстояния от заданного города до всех остальных городов (рис.1.7).
Та же задача: дан связный граф с N вершинами, веса ребер заданы матрицей W. Найти кратчайшие расстояния от заданной вершины до всех остальных.
Алгоритм Дейкстры (E.W. Dijkstra, 1959):
1. Присвоить всем вершинам метку ∞.
2. Среди нерассмотренных вершин найти вершину j с наименьшей меткой.
3. Для каждой необработанной вершины i: если путь к вершине i через вершину j меньше существующей метки, заменить метку на новое расстояние.
4. Если остались необработанны вершины, перейти к шагу 2.
5. Метка = минимальное расстояние.
Рис.1.7.
Рис.1.8. Решение задачи
РАЗДЕЛ 2
МАРШРУТЫ НИЖНЕГОРСКОГО РАЙОНА
2.1. Маршруты Нижнегорского района
Нижнегорский район находится в степной части на севере АР Крым. В состав Нижнегорского района входят пгт.Нижнегорский и 59 населенных пунктов.
Через Нижнегорский район проходят две трассы: 2Р58 и 2Р64. Существуют 8 маршрутов, следующие от А/С Нижнегорская до других населенных пунктов. В своей работе я буду рассматривать эти маршруты:
1 маршрут «Нижнегорск – Красногвардейск». Следует через: Нижнегорск – Плодовое – Митофановка – Буревестник – Владиславовка.
2 маршрут «Нижнегорск - Изобильное»: Нижнегорск – Семенное – Кирсановка – Лиственное – Охотское – Цветущее – Емельяновка – Изобильное.
3 маршрут «Нижнегорск - Великоселье»: Нижнегорк – Семенное – Двуречье – Акимовка – Лужки – Заливное – Степановка – Луговое – Чкалово – Великоселье.
4 маршрут «Нижнегорск – Белогорск (трасса 2Р64)»: Нижнегорск – Желябовка – Ивановка – Заречье – Серово – Садовое – Пены.
5 маршрут «Нижнегорск - Уваровка»: Нижнегорск – Семенное – Новоивановка – Уварвка.
6 маршрут «Нижнегорск - Любимовка»: Нижнегорск – Семенное – Двуречье – Акимовка – Лужки – Заливное – Степановка – Луговое – Коворово – Дворовое – Любимовка.
7 маршрут «Нижнегорск - Пшеничное»: Нижнегорск – Семенное – Двуречье – Акимовка – Лужки – Заливное – Степановка – Луговое – Коворово – Дворовое – Сливянка – Пшеничное.
8 маршрут «Нижнегорск – Зоркино (траса 2Р58)»: Нижнегорск – Разливы – Михайловка – Кунцево – Зоркино.
Существует очень много сел, в которые автобусы по маршрутам не заезжают и людям приходится добираться до своих населенных пунктов самостоятельно, в основном пешком. Поэтому передо мною стала задача: А можно составить новые маршруты и включить в них населенные пункты, в которые автобусы не заходят.
Маршруты «Нижнегорск - Уваровка» «Нижнегорск - Любимовка» «Нижнегорск - Пшеничное» изменить нельзя, так как по пути их следования, автобусы заезжают во все населенные пункты, поэтому эти маршруты я рассматривать не буду.
Рассмотрим остальные пять маршрутов. Населенные пункты обозначим цифрами – это вершины графа, а расстояния между ними – ребрами графа и получим пять графов. Рассмотрим каждый граф по отдельности.
2.2. Исследование маршрутов Нижнегорского района
1 маршрут: Нижнегорск – Красногвардейск.
Нижнегорск – 1
Плодовое – 2
Митрофановка – 3
Червоное – 6
Буревестник – 4
Новогригорьевка – 7
Владиславовка – 5
Не заезжает в пункт 6, 7. Добавим в маршрут эти населенные пункты.
Рис.2.1.
Граф не является Эйлеровым. Новый маршрут выглядит так: Нижнегорск – Плодовое – Митрофановка – Буревестник – Новогригорьевка – Владиславовка. Добавилось село Новогригорьевка.
2 маршрут: Нижнегорск – Изобильное.
Нижнегорск – 1
Семенное – 2
Кирсановка – 3
Лиственное – 4
Охотское – 5
Цветущее – 6
Емельяновка – 7
Изобильное – 8
Кулички – 9
Родники - 10
Не заезжает в пункт 9,10. Добавим в маршрут эти населенные пункты.
Рис.2.2.
Граф не является Эйлеровым и связным, поэтому нельзя построить новый маршрут. Маршрут остается тот же.
3 маршрут: Нижнегорск - Великоселье
Нижнегорск – 1
Семенное – 2
Двуречье – 3
Акимовка – 4
Лужки – 5
Заливное – 6
Степановка – 7
Луговое – 8
Чкалово – 9
Великоселье – 10
Широкое - 11
Не заезжает в пункт 11. Добавим в маршрут этот населенный пункт.
Рис.2.3.
Граф не является Эйлеровым. Маршрут остается тот же.
4 маршрут: Нижнегорск - Белогорск (Трасса 2Р64)
Нижнегорск – 1 Косточковка - 12
Желябовка – 2 Фрунзе - 13
Ивановка – 3 Приречное - 14
Заречье – 4 Жемчужина - 15
Серово – 5
Садовое – 6
Пены – 7
Ломоносово – 8
Кукурузное – 9
Тамбовка – 10
Тарасовка - 11
Не заезжает в пункты 8-18. Добавим в маршрут эти населенные пункты.
Рис.2.4.
Граф не является Эйлеровым. Новый маршрут выглядит так: Нижнегорск – Желябовка – Ивановка – Заречье – Тамбовка – Тарсовка – Приречное – Жемчужина – Пены.
5 маршрут: Нижнегорск - Зоркино (Трасса 2Р58)
Нижнегорск – 1
Разливы – 2
Михайловка – 3
Кунцево – 4
Зоркино – 5
Уютное – 6
Нижинское – 7
Не заезжает в пункт 6,7. Добавим в маршрут эти населенные пункты.
Рис.2.5.
Граф не является Эйлеровым и связным, поэтому маршрут остается тот же.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Фрактальная наука очень молода, и ей предстоит большое будущее. Красота фракталов далеко не исчерпана и ещё подарит нам немало шедевров – тех, которые услаждают глаз, и тех которые доставляют истинное наслаждение разума. В этом заключается новизна работы.
В заключение хочется сказать, что после того как были открыты фракталы, для многих учёных стало очевидно, что старые, добрые формы евклидовой геометрии сильно проигрывают большинству природных объектов из-за отсутствия в них некоторой нерегулярности, беспорядка и непредсказуемости. Возможно, что новые идеи фрактальной геометрии помогут изучить многие загадочные явления окружающей природы. В настоящие время фракталы стремительно вторгаются во многие области физики, биологии, медицины, социологии, экономики. Методы обработки изображений и распознавания образов, использующие новые понятия, дают возможность исследователям применить этот математический аппарат для количественного описания огромного количества природных объектов и структур.
В процессе исследования была проделана следующая работа:
1. Проанализирована и проработана литература по теме исследования.
2. Рассмотрены и изучены различные виды фракталов.
3. Представлена классификация фракталов.
4. Собрана коллекция фрактальных образов для первичного ознакомления с миром фракталов.
5. Составлены программы для построения графического образа фракталов.
Лично для меня изучение темы «Неисчерпаемое богатство фрактальной геометрии» оказалось очень интересной и необычной. В процессе исследования я сам для себя сделал массу новых открытий, связанных не только с темой проекта, но и с окружающим миров в целом. Я испытываю огромный интерес к этой теме, и поэтому данная работа оказала исключительно положительное влияние на мое представление о современной науке.
Закончив свой проект, я могу сказать, что всё из того, что было задумано, удалось. В следующем году я продолжу работу над темой «фракталы», так как это тема очень интересна и многогранна. Думаю, что я решил проблему своего проекта, так как мной были достигнуты все поставленные цели. Работа над проектом показала мне то, что математика – это не только точная, но и красивая наука.
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
1. В.М. Бондарев, В.И. Рублинецкий, Е.Г. Качко. Основы программирования, 1998 г.
2. Н. Кристофидес. Теория графов: алгоритмический подход, Мир, 1978 г.
3. Ф.А. Новиков. Дискретная математика для программистов, Питер, 2001 г.
4. В.А. Носов. Комбинаторика и теория графов, МГТУ, 1999 г.
5. О. Оре. Теория графов, Наука, 1982 г.
МОУ СОШ №6
Исследовательская работа.
«Графы»
Выполнил: Макаров Дмитрий
ученик 8 класса МОУ СОШ№6Руководитель:
Кривцова С.А
Учитель математики и информатики
МОУ СОШ № 6
Г. Абдулино, 2007 г.
СОДЕРЖАНИЕ:
I.ВВЕДЕНИЕ
Актуальность и новизна
Цель и задачи
II. ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ
1.Понятие о графах
2.Свойства графов
3.Применение графов
III.Практическая часть
IV.Заключение
V.Литература
VI.Приложение
1.Актуальность и новизна
Теория графов находит применение в различных областях современной математики и ее многочисленных приложениях, в особенности это относится к экономике, технике, к управлению.
Решение многих математических задач упрощается, если удается использовать графы. Представление данных в виде графа придает им наглядность и простоту.
Многие математические доказательства также упрощаются, приобретают убедительность, если пользоваться графами.
2. Цель и задачи.
Цель: рассмотреть решение задач с использованием «Граф», проверить выполнение
«Графов» на родословных.
Задачи:
Изучить научно- популярную литературу по данному вопросу.
Исследовать выполнение ”Графов’’ для выяснения родственных отношений
Проанализировать результаты проведенных экспериментов
II. Основная часть.
1.ПОНЯТИЕ О ГРАФАХ
Слово «граф» в математике означает картинку, где нарисовано несколько точек, некоторые из которых соединены линиями. Графами являются блок – схемы программ для ЭВМ, сетевые графики строительства, где вершины – события, означающие окончания работ на некотором участке, а ребра, связывающие эти вершины , - работы, которые возможно начать по совершении одного события и необходимо выполнить для совершения следующего.
Математические графы с дворянским титулом «граф» связывает общее происхождение от латинского слова « графио » - пишу. Типичными графами являются схемы авиалиний, которые часто вывешивается в аэропортах, схемы метро, а на географических картах – изображение железных дорог (рис. 1). Выбранные точки графа называются его вершинами, а соединяющие их линии – ребрами.
Использует графы и дворянство. На рисунке 2 приведена часть генеалогического дерева знаменитого дворянского рода. Здесь его вершины – члены этого рода, а связывающие их отрезки – отношения родственности, ведущие от родителей к детям.
Слово «дерево» в теории графов означает граф, в котором нет циклов, то есть в котором нельзя из некоторой вершины пройти по нескольким различным ребрам и вернуться в ту же вершину. Генеалогическое дерево будет деревом и в смысле теории графов , если в этом семействе не было браков между родственниками.
Не трудно понять, что граф – дерево всегда можно изобразить так, чтобы его ребра не пересекались. Тем же свойством обладают графы, образованные вершинами и ребрами выпуклых многогранников. На рисунке 3 приведены графы, соответствующие пяти правильным многогранникам. В графе соответствующем тетраэдру, все четыре вершины попарно соединены ребрами.
Рассмотрим граф с пятью вершинами, попарно соединенными друг с другом (рис. 4). Здесь ребра графа пересекаются. Невозможно его изобразить так, чтобы пересечений не было, как невозможно выполнить намерения трех человек, описанных Льюсом Кэрроллом.
Они жили в трех домиках , неподалеку от них находились три колодца: один с водой, другой с маслом, а третий с повидлом, и ходили к ним по тропинкам, изображенным на рисунке 5. Однажды эти люди перессорились и решили провести тропинки от своих домов к колодцам так, чтобы эти тропинки не пересекались. На рисунке 6 изображена очередная попытка проложить такие тропы.
Графы, изображенные на рисунках 4 и 5, как оказалось, играют решающую роль при определение для каждого графа – является ли он плоским, то есть может ли он быть изображен на плоскости без пересечения его ребер. Польский математик Г. Куратовский и академик Л. С. Понтрягин независимо доказали, что если граф не является плоским, то в нем «сидит» хотя бы один из графов , изображенных на рисунках 4 и 5, то есть «полный пятивершинник» или граф «домики – колодцы».
Графами являются блок – схемы программ для ЭВМ, сетевые графики строительства, где вершины – события, означающие окончания работ на некотором участке, а ребра, связывающие эти вершины , - работы, которые возможно начать по совершении одного события и необходимо выполнить для совершения следующего.
Если на ребрах графа нанесены стрелочки, указывающие направление ребер, то такой граф называют направленным.
Стрелка от одой работы к другой на графе, изображенном на рис. 7, означает последовательность выполнения работ. Нельзя начинать монтаж стен, не закончив строить фундамент, чтобы приступить к отделке , нужно иметь на этажах воду и т. д.
Около вершин графа указаны числа – продолжительность в днях соответствующей работы. Теперь мы можем узнать наименьшую возможную продолжительность строительства. Для этого из всех путей по графу в направлении стрелок нужно выбрать путь, у которого сумма чисел при вершинах наибольшая. Он называется критическим путем (на рис. 2 он выделен коричневым цветом). В нашем случае получаем 170 дней. А если сократить время прокладки электросети с 40 до 10 дней, то и время строительства тоже сократится на 30 дней? Нет, в этом случае критический путь станет проходить не через эту вершину, а через вершины, соответствующие строительству котлована, укладке фундамента и т. д. И общее время строительства составит 160 дней, т. е. срок сократиться лишь на 10 дней.
На рис.8 изображена схема дорог между селами М, А, Б, В, Г.
Здесь каждые две вершины соединены между собой ребром. Такой граф называется полным. Числа на рисунке указывают расстояния между селами по этим дорогам. Пусть в селе М находится почта и почтальон должен развезти письма по остальным четырем селам. Существует много различных маршрутов поездки. Как из них выбрать наикратчайший? Проще всего проанализировать все варианты. Сделать это поможет новый граф(внизу), на котором легко увидеть возможные маршруты. Вершина М вверху – начало маршрутов. Из нее можно начать движение четырьмя различными способами: в А, в Б, в В, в Г. После посещения одного из сел остается три возможности продолжения маршрута, потом две, потом дорога в последнее село и вновь в М. Всего 4 3 2 1 = 24 способа.
Расставим вдоль ребер графа цифры, обозначающие расстояния между селами, а в конце каждого маршрута напишем сумму этих расстояний по маршруту. Из полученных 24 чисел наименьшими являются два числа по 28км, соответствующие маршрутам М-В-Б-А-Г-М и М-Г-А-Б-В-М. Это один и тот же путь, но пройденный в разных направлениях. Заметим, что граф на рис. 8 тоже можно сделать направленным , указав направление сверху вниз на каждом из ребер, что соответствовало бы направлению движения почтальона. Подобные задачи часто возникают при нахождении лучших вариантов развозки товаров по магазинам, стройматериалов по стройкам.
Графы часто используют для решения логических проблем, связанных с перебором вариантов. Для примера рассмотрим такую задачу. В ведре 8 л воды, и имеется две кастрюли емкостью 5 и 3 л. требуется отлить в пятилитровую кастрюлю 4 л воды и оставить в ведре 4 л, т. е. разлить воду поровну в ведро и большую кастрюлю.
Ситуацию в каждый момент можно описать тремя числами, где А-количество литров воды в ведре, Б- в большой кастрюле, В - в меньшей. В начальный момент ситуация описывалась тройкой чисел (8, 0, 0), от нее мы можем перейти в одну из двух ситуаций: (3, 5, 0),если наполним водой большую кастрюлю, или (5, 0, 3), если наполним меньшую кастрюлю.
В результате получаем два решения: одно в 7 ходов, другое в 8 ходов.
Подобным образом можно составить граф любой позиционной игры: шахмат, шашек, «крестиков – ноликов», где позиции станут вершинами, а направленные отрезки между ними будут означать, что одним ходом можно перейти от одной позиции к другой , по направлению стрелки.
Однако для шахмат и шашек такой граф будет очень большим, поскольку различные позиции в этих играх исчисляются миллионами. А вот для игры «крестики – нолики» на доске 3 * 3 соответствующий граф нарисовать не так уж трудно, хотя и он будет содержать несколько десятков (но не миллионов) вершин.
Свойство графов не зависят от того, соединены вершины отрезками или кривыми линиями, что дает возможность изучения их свойств с помощью одной из молодых наук – топологии.
Впервые основы теории графов появились в работе Л. Эйлера, где он описывал решение головоломок и математических развлекательных задач. Широкое развитие теория графов получила с 50-х гг. 20 в.в связи со становлением кибернетики и развитием вычислительной техники.
В терминах графов легко формулируется и решается задача о назначении на должности. А именно: если имеется несколько вакантных должностей и группа лиц, желающих их занять, причем каждый из претендентов имеет квалификацию для нескольких должностей, то при каких условиях каждый из претендентов сможет получить работу по одной из своих специальностей?
Свойства графов не зависят от того, соединены вершины отрезками или кривыми линиями. Это дает возможность изучения их свойств с помощью одной из молодых наук – топологии, хотя сами задачи теории графов являются типичными задачами комбинаторики.
III. Практическая часть.
Методы работы:
Сравнение и анализ результатов эксперимента.
Методика работы:
Для проведения исследований были выбраны:
А) Родословная моей семьи , архивы данных, свидетельства о рождении.
Б) Родословная князей Голицыных, архивы данных.
Я провел исследование, результаты исследования поместил в схемы и проанализировал их.
Методика 1.
Цель: проверить выполнение ’’Графов” на своей родословной.
Результаты: схема 1
Методика 2.
Цель: проверить выполнение ’’Графов’’ на родословной князей Голицыных.
Результат: схема 2
Вывод: я заметил, что родословная – типичный граф.
IV.ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В настоящей исследовательской работе рассмотрены математические графы, области их применения, решено несколько задач с помощью графов. Графы достаточно широко применяются в математике, технике, экономике, управлении. Графы предназначены для активизации знаний по школьным предметам. Знание основ теории графов необходимо в различных областях, связанных с управлением производством , бизнесом (например, сетевой график строительства, графики доставки почты). Кроме того, работая над исследовательской работой, я освоил работу на компьютере в текстовом редакторе WORD. Таким образом , задачи исследовательской работы выполнены.
V.Литература.
1.Энциклопедический словарь юного математика / Сост.А.П.Савин.- М.: Педагогика, 1989
2. Квант № 6 1994Г.
3. М. Гарднер «Математические досуги» М.: Мир,1972
4.В.А.Гусев, А. И.Орлов, А.А.Розенталь ’’Внеклассная работа по математике’’
5. И.Семакин’’ Информатика’’
Содержание:
I. Введение……………………………………………………………………2
II. Основная часть.
1.История возникновения теории графов…………………………………….4
2.Основные понятия теории графов…………………………………………..5
3.Некоторые задачи теории графов…………………………………………...6
3.1 Задачи о вычерчивании фигур одним росчерком………………………..8
3.2 Задачи с лабиринтами……………………………………………………..10
3.3 Логические задачи…………………………………………………………12
4.Применение теории графов в различных сферах деятельности…………..15
4.1.Графы и история……………………………………………………………17
4.2.Графы и химия……………………………………………………………...18
4.3. Графы и физика…………………………………………………………….19
III . Заключение………………………………………………………………..20
IV . Список литературы………………………………………………………21
Приложение 1………………………………………………………………….22
Приложение 2………………………………………………………………….25
Приложение 3…………………………………………………………………..26
I Введение
Всем известна занимательная задачка про открытый конверт: «Начертите фигуру, не отрывая карандаша от бумаги и не проводя никакую линию дважды».
В этом году я был участником дистанционной олимпиады по математике. В ней была предложена такая задача:
«Почтальон Печкин разнёс почту во все дома деревни, после чего зашёл к дяде Фёдору выпить молока. На рисунке показаны все тропинки, которые проходил Печкин, причём как оказалось, ни одной из них он не проходил дважды. Каким маршрутом шёл почтальон Печкин? В каком доме живёт дядя Фёдор?»
Разбирая решение этой задачи, я задался вопросом: «Можно ли решить эти задачи не перебором, а другим, более быстрым, способом?»
После этого я обратился к своему учителю, и мне объяснили, что решить эту задачу я могу, изучив теорию графов. Но прежде, чем найти ответ на свой вопрос, я увидел, что теория графов помогает упростить решение многих задач. Графы заинтересовали меня своей возможностью помогать в решении различных головоломок, математических и логических задач.
Цель:
показать применение теории графов для решения различных видов задач.
Задачи:
Изучить элементы теории графов.
Разобрать решение различных видов задач.
Узнать о применении графов в науке и в различных сферах деятельности.
Методы исследования:
Поиск и анализ информации в литературе.
Поиск и изучение информации в интернет – ресурсах.
Моделирование.
II Основная часть
1. История возникновения теории графов.
Датой рождения теории графов принято считать 1736 год, когда Леонард Эйлер решил задачу о кенигсбергских мостах (Приложение 1.) .
Р
укава реки Прегель, на берегу которой расположен город Кенигсберг, образовывали два острова. В эту эпоху четыре образовавшихся участка суши (правый и левый берег и два острова) соединяло семь мостов так, как это показано на рисунке. Горожане, гуляя по городу, пытались составить маршрут, чтобы он проходил по каждому мосту ровно один раз. Это им не удавалось, а Эйлер доказал, что это принципиально невозможно.
Термин «граф» впервые ввел в 1936 году венгерский математик Денеш Кениг. Широкое развитие теория графов получила в 50-х годах 20 века в связи со становлением кибернетики и развитием вычислительной техники.
Слово «граф» в математике означает картинку, где нарисовано несколько точек, некоторые из которых соединены линиями. С дворянским титулом «граф» их связывает общее происхождение от латинского слова «графио» - пишу.
2. Основные понятия теории графов.
В математике определение графа дается так: «графом называется конечное множество точек, некоторые из которых соединены линиями. Точки называются вершинами графа, а соединяющие линии – рёбрами».
Схема графа, состоящая из «изолированных» вершин, называется нулевым графом. (рис.2)
Графы, в которых не построены все возможные ребра, называются неполными графами. (рис.3)
Графы, в которых построены все возможные ребра, называются полными графами. (рис.4)
Количество рёбер, выходящих из вершины графа, называется степенью вершины . Вершина графа, имеющая нечётную степень, называется нечетной , а чётную степень – чётной .
Если степени всех вершин графа равны, то граф называется однородным . Таким образом, любой полный граф - однородный.
На рисунке 5 изображен граф с пятью вершинами. Степень вершины А обозначим Ст.А.
На рисунке 5: Ст.А = 1, Ст.Б = 2, Ст.В = 3, Ст.Г= 2, Ст.Д= 0.
рис.5
3. Некоторые задачи теории графов.
Эйлеров путь - путь в графе, проходящий через каждое ребро ровно один раз.
Граф, который можно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги, называется эйлеровым. (рис.6) Такими графы названы в честь учёного Леонарда Эйлера.
рис.6 (эйлеровы графы)
Закономерность 1 .
Если все вершины графа четные, то можно не отрывая карандаш от бумаги («одним росчерком»), проводя по каждому ребру только один раз, начертить этот граф. Движение можно начать с любой вершины и закончить его в той же вершине.
Закономерность 2.
Граф, имеющий всего две нечетные вершины, можно начертить, не отрывая карандаш от бумаги, при этом движение нужно начать с одной из этих нечетных вершин и закончить во второй из них.
Закономерность 3
.
Граф, имеющий более двух нечетных вершин, невозможно начертить «одним росчерком».
Фигура (граф), которую можно начертить, не отрывая карандаш от бумаги, называется уникурсальной .
Алгоритм решения
Из предыдущих рассуждений мы получаем общий прием решения каждой подобной задачи о мостах:
преобразовать рисунок в граф (определить его вершины и рёбра);
определить степень каждой вершины;
сделать выводы:
а) заданный обход возможен, если
Все вершины чётные (его можно начать с любой вершины);
Две вершины нечётные (его нужно начать с одной из нечётных вершин);
б) заданный обход невозможен, если нечётных вершин больше двух;
указать начало и конец пути.
Я, изучив эти выводы, решил проверить их на примерах задач из раздела теории графов.
3.1. Решение задач о вычерчивании фигур одним росчерком
Задача №1 (О кенигсбергских мостах).
Ч
етыре образовавшихся участка суши (правый и левый берег и два острова) соединяло семь мостов так, как это показано на рисунке. Горожане пытались составить маршрут, чтобы он проходил по каждому мосту ровно один раз.
Решение.
Эту задачу решил Леонард Эйлер. Он построил следующий граф и получил, что все четыре вершины нечетные, то есть нельзя пройти по всем мостам один раз и закончить путь там, где он был начат.
Задача №2.
Можно ли нарисовать графы, изображенные на рисунках, не отрывая карандаш от бумаги и проводя каждое ребро ровно один раз?
Р
ешение:
Можно, т. к. только 2 нечетные вершины.
Нельзя, т. к. 4 нечетные вершины.
З
адача №3.
Говорят, что Магомет вместо подписи (он был неграмотен) описывал одним росчерком состоящий из двух рогов луны знак, представленный на рисунке. Возможно ли это?
Решение. Да, потому что в данном случае мы имеем дело с вершинами четного порядка.
Задача №4. (Муха в банке).
Муха забралась в банку из-под сахара. Банка имеет форму куба. Сможет ли муха последовательно обойти все 12 ребер куба, не проходя дважды по одному ребру? Подпрыгивать и перелетать с места на место не разрешается.
Решение.
Ребра и вершины образуют граф, все 8 вершин которого имеют 3 степень, и, следовательно, требуемый обход невозможен.
Задача №5. (Путь Печкина)
Решение. Нечётных вершин в условии задачи две – почта и дом, поэтому начинаться и заканчиваться маршрут может только в этих узлах. Почтальон Печкин начинает разнос писем с почты, поэтому его маршрут может заканчиваться в доме 5, там и живёт дядя Фёдор. Например, маршрут может быть таким: почта-1-3-2-1-7-почта-3-4-5-7-6-5.
Задачи с лабиринтами
Кроме задач вида «одним росчерком» полученным способом можно решать задачи с лабиринтом.
Происхождение задач о лабиринтах относится к глубокой древности и теряется во мраке времен. Слово «лабиринт» (греческое) означает «ходы в подземельях». Решению задачи о лабиринтах предпосылаются исторические справки – чтобы показать интерес к этой задаче и дать наглядное представление о существовавших и существующих лабиринтах.
Задача о прохождении лабиринта приобретает практический интерес, поскольку устройство линий электропередач, канализации, сетей дорог, каналов и т.д. – все это более или менее сложные лабиринты. Начало решению вопроса о существовании безвыходных лабиринтов положено Эйлером.
Нарисовав соответствующий лабиринту граф, используют способ обхода всех ребер для нахождения выхода.
Решение (т.е. маршрут, ведущий к цели) каждого лабиринта может быть найдено одним их трех сравнительно простых методов.
Первый метод – МЕТОД ПРОБ И ОШИБОК. Выбирайте любой путь, а если он заведет вас в тупик, то возвращайтесь назад и начинайте все сначала.
Второй метод – МЕТОД ЗАЧЕРКИВАНИЯ ТУПИКОВ. Начнем последовательно зачеркивать тупики, т.е. маршруты, не имеющие ответвлений и заканчивающиеся перегородкой. Незачеркнутая часть коридоров будет выходом или маршрутом от входа к выходу или к центру.
Третий метод – ПРАВИЛО ОДНОЙ РУКИ. Оно состоит в том, что по лабиринту надо двигаться, не отрывая одной руки (правой или левой) от стены.
Рассмотрим задачу общего вида:
М
ожно ли обойти все данные комнаты, пройдя через каждую дверь ровно один раз и выйти на улицу через комнату 1 или 10? С какой комнаты надо начинать?
Решение:
Аналогично рассуждая, можно решать любые задачи с лабиринтами, входами и выходами, подземельями и т.п.
3.3 Логические задачи
Задача №1.
Аркадий, Борис. Владимир, Григорий и Дмитрий при встрече обменялись рукопожатиями (каждый пожал руку каждому по одному разу). Сколько всего рукопожатий было сделано?
Решение:
П
усть каждому из пяти молодых людей соответствует определенная точка на плоскости, названная первой буквой его имени, а производимому рукопожатию - отрезок или часть кривой, соединяющая конкретные точки - имена.
Задача №2.
В
деревне 10 домов, и из каждого выходит по 7 тропинок, идущих к другим домам. Сколько всего тропинок приходит между домами?
Решение.
Пусть дома- вершины графа, тропинки- рёбра. По условию из каждого дома (вершины) выходит 7 тропинок (рёбер), тогда степень каждой вершины 7, сумма степеней вершин 7×10=70, а число рёбер 70: 2= 35. Таким образом, между домами проходит 35 тропинок.
Ответ. 35 тропинок
Задача №3.
В одном дворе живут четыре друга. Вадим и шофер старше Сергея, Николай и слесарь занимаются боксом, электрик-младший из друзей.
По вечерам Андрей и токарь играют в домино против Сергея и электрика.
Определите профессию каждого из друзей.
Решение.
Составим граф из 4 друзей и 4 профессий. Пунктирными линиями отметим невозможные связи, а сплошной - соответствие имени и профессии. Если от каждой вершины выходить 3 пунктирных линии, то четвертая линия должна быть сплошной.
В С Н А
Ш С Т Э
Задача №4.
В небольшом городке живут пять друзей: Иванов, Петренко, Сидорчук, Гришин и Капустин. Профессии у них разные: один из них маляр, другой- мельник, третий- плотник, четвертый-почтальон, а пятый- парикмахер.
Петренко и Гришин никогда не держали в руках малярной кисти.
Иванов и Гришин собираются посетить мельницу, на которой работает их товарищ. Петренко и Капустин живут в одном доме с почтальоном.
Сидорчук был недавно в ЗАГСе одним из свидетелей, когда Петренко и дочь парикмахера сочетались законным браком. Иванов и Петренко каждое воскресенье играют в городки с плотником и маляром.
Гришин и Капустин по субботам обязательно встречаются в парикмахерской, где работает их друг. Почтальон предпочитает бриться сам. Кто есть кто?
Решение.
Иванов Петренко Сидорчук Гришин Капустин
маляр мельник плотник почтальон парикмахер
4.Применение теории графов в различных сферах деятельности.
Ч
ем больше я изучал теорию графов, тем больше поражалась разнообразию применения этой теории.
Т
ипичными графами на картах города являются схемы движения городского транспорта, изображения железных дорог, схемы авиалиний, которые часто вывешивается в аэропортах. Графом является и система улиц города. Его вершины – площади и перекрестки, а ребра – улицы.Графы есть и на картах звездного неба.
С помощью графов часто упрощается решение задач, сформулированных в различных областях знаний: в автоматике, электронике, физике, химии. Помогают графы в решении математических и экономических задач.
Теория графов сейчас одна из самых развиваемых частей математики, так как современная жизнь требует появление новых профессий. Одна из них – специалист по логистике . (Приложение 3.) Менеджер по логистике занимается доставкой товаров, грузов, планирует транспортные маршруты, рассчитывает стоимость перевозок, организует хранение товаров, грузов и т.д. Одна из главных задач специалиста по логистике - анализ ситуации, поэтому он должен уметь хорошо считать, владеть теорией графов.
Инженер чертит схемы электрических цепей.
Химик рисует структурные формулы, чтобы показать, как в сложной молекуле с помощью валентных связей соединяются друг с другом атомы.
Историк прослеживает родословные связи по генеалогическому дереву.
Военачальник наносит на карту сеть коммуникаций, по которым из тыла к передовым частям доставляется подкрепление.
Социолог по сложнейшей диаграмме показывает, как подчиняются друг другу различные отделы одной огромной корпораций.
Графы применяются в различных отраслях науки. В последние десятилетия теория графов находит все новые области применения (физика, химия, генетика, психология, социология, экономика, лингвистика, электроника, теория планирования и управления). Именно запросы практики способствуют интенсивному развитию теории графов.
4.1.Графы и история .
Использует графы и история. Например, в генеалогическом дереве, вершины – члены рода, а связывающие их отрезки – отношения родственности.
Генеалогическое дерево А.С. Пушкина.
Моё генеалогическое дерево
4.1.Графы и химия .
Теория графов в химии применяется для решения различных теоретических и прикладных задач. Применение графов теории базируется на построении и анализе различных классов химических и химико-технологических графов, которые называются также топология, т.е. модели, учитывающие только характер связи вершин. Ребра и вершины этих графов отображают химические и химико-технологические понятия, явления, процессы или объекты и соответственно качественные и количественные взаимосвязи либо определенные отношения между ними.
П
ри графическом изображении формул веществ указывается последовательность расположения атомов в молекуле с помощью, так называемых валентных штрихов (термин «валентный штрих» предложил в 1858 г. А. Купер для обозначения химических сил сцепления атомов), иначе называемых валентной чертой (каждая валентная черта, или валентный штрих, эквивалентны одной паре электронов в ковалентных соединениях или одному электрону, участвующему в образовании ионной связи).
Химические графы дают возможность прогнозировать химические превращения, пояснять сущность и систематизировать некоторые основные понятия химии.
Молекулярные графы, применяемые в стереохимии и структурной топологии, химии кластеров, полимеров и др., представляют собой неориентированные графы, отображающие строение молекул. Вершины и ребра этих графов отвечают соответственно атомам и химическим связям между ними.
М
олекулярные графы и деревья: а, б - мультиграфы этилена и формальдегида; в-молекулы изомеров пентана.
4.3.Графы и физика
Е
ще недавно одной из наиболее сложных и утомительных задач для радиолюбителей было конструирование печатных схем.
Печатной схемой называют пластинку из какого-либо диэлектрика (изолирующего материала), на которой в виде металлических полосок.
вытравлены дорожки. Пересекаться дорожки могут только в определенных точках, куда устанавливаются необходимые элементы, их пересечение в других местах вызовет замыкание электрической цепи.
В ходе решения этой задачи необходимо вычертить плоский граф, с вершинами в указанных точках.
Изучая этот материал, я узнала области применения теории графов и сделала вывод, что этот раздел математики является одним из важнейших, который используется в нашей повседневной жизни часто незаметно для нас.
III Заключение.
Чтобы найти ответ на интересующую меня задачу, мне пришлось познакомиться с новым разделом математики «Теорией графов», который не изучается в школьном курсе, но облегчает решение многих задач, я узнал много нового, понял, что математика интересна, но и трудна.
Изучая этот материал, я узнал области применения теории графов и сделал вывод, что этот раздел математики является одним из важнейших, который используется в нашей повседневной жизни часто незаметно для нас.
Графы – это замечательные математические объекты, с помощью, которых можно решать математические, логические и экономические задачи. Решение многих математических задач упрощается, если удается использовать графы. Представление данных в виде графа придает им наглядность и простоту. Многие математические доказательства также упрощаются, приобретают убедительность, если пользоваться графами. Также можно решать различные головоломки и упрощать условия задач по физике, химии, электронике, автоматике. Графы используются при составлении карт и генеалогических древ.
IV . Литература.
1. Альхова З.Н., Макеева А.В. Внеклассная работа по математике. – Саратов: «Лицей», 2002 г.
2. Перельман Я.И. Одним росчерком. – Ленинград, 1940
3. Башмаков М. И. Математика в кармане «Кенгуру». - М.: Дрофа, 2010г.
4. Игнатьев Е. И. Математическая смекалка. - М.: «Омега», 1994г.
5. Подготовка школьников к олимпиадам по математике. 5-6 классы./сост. Григорьева Г.И. – М. : «Глобус», 2009 г.
Приложение 1.
Леонард Эйлер и мосты Кёнигсберга
Л
еонард Эйлер родился в швейцарском городе Базеле, где в 15 лет окончил университет, а в 17 лет получил степень магистра. Во время обучения в университете Эйлер брал уроки у одного из самых известных математиков того времени Иоганна Бернулли и подружился с его сыновьями Даниилом и Николаем, которые были приглашены для работы в только что созданную Петербургскую академию наук. Через год по их рекомендации туда же был приглашен и двадцатилетний Эйлер. Этот выбор оказался одним из самых удачных для России. Нет такой области математики, где Эйлер не сказал своего слова. Работал он сутками напролет в любой обстановке, опубликовал примерно 850 работ. Он легко обнаруживал новые задачи и методы их решения. Даже историю возникновения теории графов можно проследить по переписке великого ученого.
Вот перевод латинского текста, который взят из письма Эйлера к итальянскому математику и инженеру Маринони, отправленного из Петербурга 13 марта 1736 года:
"Некогда мне была предложена задача об острове, расположенном в городе Кенигсберге и окруженном рекой, через которую перекинуто семь мостов. Спрашивается, может ли кто-нибудь непрерывно обойти их, проходя только однажды через каждый мост. И тут же мне было сообщено, что никто еще до сих пор не мог это проделать, но никто и не доказал, что это невозможно. Вопрос этот, хотя и банальный, показался мне, однако, достойным внимания тем, что для его решения недостаточны ни геометрия, ни алгебра, ни комбинаторное искусство... После долгих размышлений я нашел легкое правило, основанное на вполне убедительном доказательстве, с помощью которого можно во всех задачах такого рода тотчас же определить, может ли быть совершен такой обход через какое угодно число и как угодно расположенных мостов или не может".
В своём письме к Маринони Эйлер подробно описал ход своих рассуждений:
"Кенигсбергские же мосты расположены так, что их можно представить на рисунке, где A обозначает остров, а B, C и D – части континента, отделенные друг от друга рукавами реки. Семь мостов обозначены буквами a, b, c, d, e, f, g ".
Так можно ли обойти все Кенигсбергские мосты, проходя только один раз через каждый из этих мостов?
Простой путь решения задачи, казалось бы, такой: сделать все возможные пробы таких переходов, т. е. перечислить все возможные пути, и затем рассмотреть, какой или какие из них удовлетворяют условиям вопроса. Но, очевидно, что даже в случае только семи мостов приходится делать слишком много таких проб. А при увеличении числа мостов такой способ решения практически совершенно немыслим. Да, кроме того, при одном и том же числе мостов задача изменяется в зависимости еще от расположения этих мостов.
Поэтому, чтобы найти ответ, продолжим письмо Эйлера и посмотрим, какое же правило он нашел. Итак,
"Вопрос состоит в том, чтобы определить, можно ли обойти все эти семь мостов, проходя через каждый только однажды, или нельзя. Мое правило приводит к следующему решению этого вопроса. Прежде всего, нужно смотреть, сколько есть участков, разделенных водой, – таких, у которых нет другого перехода с одного на другой, кроме как через мост. В данном примере таких участков четыре – A, B, C, D."
Ход решения задачи будем представлять в виде графа , где вершины – острова и берега, а ребра – мосты.
"Далее нужно различать, является ли число мостов, ведущих к этим отдельным участкам, четным или нечетным. Так, в нашем случае к участку A ведут пять мостов, а к остальным – по три моста".
То есть нам нужно определить степень каждой вершины (количество рёбер, сходящихся в вершине) и узнать, какие вершины четные , а какие нечетные . Подпишем степени вершин в кружочках. И посчитаем количество нечетных вершин. Нечетные вершины: А, B, C, D.
"Когда это определено, применяем следующее правило: если все вершины имеют четную степень, то тогда обход, о котором идет речь, возможен, и начать этот обход можно с любого участка. Если же из этих вершин две нечетные, то и тогда можно совершить переход, как это предписано, но только начало обхода непременно должно быть взято в одной из этих двух вершин, а конец обхода непременно должен быть во второй нечетной вершине. Если, наконец, больше двух нечетных вершин, то тогда такое движение вообще невозможно...".
Приложение 2
Разные задачи на вычерчивание одним росчерком
Приложение 3
Профессия логист
О
писание профессии:
Это специалист, который координирует движение товаров на пути от производства до точек реализации.
Название профессии происходит от английского слова logistics - снабжение, материально-техническое обеспечение.
В современных условиях любой товар, прежде чем попасть к потребителю, преодолевает довольно сложный путь, включающий много звеньев (особенно если речь идет о поставках из-за рубежа).
Цепочка может выглядеть, например, так: закупка товаров у иностранного поставщика - их страхование - перевозка - растаможивание (прохождение таможенного контроля, уплата пошлин) - складирование - упаковка и/или снабжение русскоязычными этикетками и документацией - распределение по оптовым торговым базам - продажа в розничной сети.
Чтобы товар своевременно доходил до потребителя и приносил прибыль, все звенья этой цепочки должны работать как хорошо отлаженный единый механизм. А когда количество наименований поставляемых товаров измеряется десятками тысяч (например, в сети супермаркетов), отладить такие цепочки представляет собой очень сложную задачу, и любой сбой чреват убытками.
Например, завезли слишком много какого-то товара - он попусту загромождает складские помещения и может прийти в негодность. А какой-нибудь другой товар, который следует привезти к вполне определенному сроку (например, елки к Новому году или цветы к 8 Марта), из-за неправильно оформленных сопроводительных документов застрянет на таможенном складе и поступит в продажу слишком поздно, когда уже окажется никому не нужен.
Задача логиста - исключить подобные казусы и организовать систему поставки и распределения товаров таким образом, чтобы все поставлялось куда требуется, в нужном количестве и в срок, и при этом свести к минимуму накладные расходы, связанные с транспортировкой и хранением. Соответственно такие специалисты нужны во всех организациях, деятельность которых связана с поставками товаров: в специализированных фирмах, оказывающих услуги в области транспортировки товаров, в крупных торговых сетях, на тех производствах, куда поставляется большое количество сырья и комплектующих, и т. д.
Содержание работы логистика весьма разнообразно: он анализирует информацию и на ее основе продумывает пути и сроки поставки товаров, рассчитывает стоимость транспортировки, координирует работу перевозчиков, взаимодействует с поставщиками, работниками складов, таможенными службами и т. д.
