Площадь треугольника по 2 векторам. Векторное произведение векторов
Мы рассматривали до сих пор сличай, когда на тело действуют две (или больше) силы, векторная сумма которых равна нулю. В этом случае тело может либо покоиться, либо двигаться равномерно. Если тело покоится, то общая работа всех приложенных к нему сил равна нулю. Равна нулю и работа каждой отдельной силы. Если же тело движется равномерно, то общая работа всех сил по-прежнему равна нулю. Но каждая сила в отдельности, если она не перпендикулярна направлению движения, совершает определенную работу - положительную или отрицательную.
Рассмотрим теперь случай, когда равнодействующая всех сил, приложенных к телу, не равна нулю или когда на тело действует только одна сила. В этом случае, как это следует из второго закона Ньютона, тело будет двигаться с ускорением. Скорость тела будет меняться, и работа, совершенная силами в этом случае, не равна нулю, она может быть положительной или отрицательной. Можно ожидать, что между изменением скорости тела и работой, совершенной силами, приложенными к телу, существует какая-то связь. Попытаемся ее установить. Представим себе для простоты рассуждения, что тело движется вдоль прямой линии и равнодействующая сил, приложенных к нему, постоянна по абсолютному значению; и направлена по той же прямой. Обозначим эту равнодействующую силу через а проекцию перемещения на направление силы через Направим координатную ось вдоль направления силы. Тогда , как было показано в § 75, совершаемая работа равна Направим координатную ось вдоль перемещения тела. Тогда, как было показано в § 75, работа А, совершаемая равнодействующей, равна: Если направления силы и перемещения совпадают, то положительна и работа положительна. Если равнодействующая направлена противоположно направлению движения тела, то ее работа отрицательна. Сила сообщает телу ускорение а. По второму закону Ньютона . С другой стороны, во второй главе мы нашли, что при прямолинейном равномерно ускоренном движении
Отсюда следует, что
Здесь - начальная скорость тела, т. е. его скорость в начале перемещения - его скорость в конце этого участка.
Мы получили формулу, связывающую работу, совершенную силой с изменением скорости (точнее, квадрата скорости) тела, вызванным этой силой.
Половина произведения массы тела на квадрат его скорости носит специальное название - кинетическая энергия тела, и часто формулу (1) называют теоремой о кинетической энергии.
Работа силы равна изменению кинетической энергии тела.
Можно показать, что формула (1), выведенная нами для силы, постоянной по величине и направленной вдоль движения, справедлива и в тех случаях, когда сила изменяется, а ее направление не совпадает с направлением перемещения.
Формула (1) замечательна во многих отношениях.
Во-первых, из нее следует, что работа силы, действующей на тело, зависит только от начального и конечного значений скорости тела и не зависит от того, с какой скоростью оно двигалось в других точках.
Во-вторых, из формулы (1) видно, что ее правая часть может быть как положительной, так и отрицательной в зависимости от того, возрастает или убывает скорость тела. Если скорость тела возрастает то правая часть формулы (1) положительна, следовательно, и работа Так и должно быть потому, что для увеличения скорости тела (по абсолютной величине) действующая на него сила должна быть направлена в ту же сторону, что и перемещение. Наоборот, когда скорость тела уменьшается правая часть формулы (1) принимает отрицательное значение (сила направлена противоположно перемещению).
Если в начальной точке скорость тела равна нулю, выражение для работы принимает вид:
Формула (2) позволяет вычислить работу, которую нужно совершить, чтобы покоящемуся телу сообщить скорость, равную
Очевидно обратное: для остановки тела, движущегося со скоростью необходимо совершить работу
очень напомннагт формулу, полученную в предыдущей главе (см. § 59), устанавливающую между импульсом силы и изменением импульса тела
Действительно, левая часть формулы (3) отличается от левой части формулы (1) тем, что в ней сила умножается не на перемещение, совершаемое телом, а на время действия силы. В правой части формулы (3) стоит произведение массы тела на его скорость (импульс) вместо половины произведения массы тела на квадрат его скорости, фигурирующее в правой части формулы (1). Обе эти формулы являются следствием законов Ньютона (из которых они были выведены), а величины являются характеристиками движения.
Но между формулами (1) и (3) имеется и принципиальное различие: формула О) устанавливает связь между скалярными величинами, тогда как формула (3) - это векторная формула.
Задача I. Какую работу надо произвести, чтобы поезд, движущийся со скоростью увеличил свою скорость Масса поезда . Какая сила должна быть приложена к поезду, если это увеличение скорости должно произойти на участке длиной 2 км? Движение считать равноускоренным.
Решение. Работу А можно найти по формуле
Подставив сюда приведенные в задаче данные, получим:
Но определению следовательно,
Задача 2, Какой высоты достигнет тело, брошенное вверх о начальной скоростью
Решение. Тело будет подниматься вверх до тех пор, пока его скорость не станет равной нулю. На тело действует только сила тяжести где - масса тела и - ускорение свободного падения (силой сопротивления воздуха и архимедовой силой пренебрегаем).
Применив формулу
Это выражение мы уже получили ранее (см. стр. 60) более сложным путем.
Упражнение 48
1. Как связана работа силы с кинетической энергией тела?
2 Как изменяется кинетическая энергия тела, если сила, приложенная к нему, совершает положительную работу?
3. Как изменяется кинетическая энергия тела, если приложенная к нему сила совершает отрицательную работу.
4. Тело движется равномерно по окружности радиусом 0,5 м, обладая кинетической энергией в 10 дж. Какова сила, действующая на тело? Как она направлена? Чему равна работа этой силы?
5. К покоящемуся телу массой 3 кг приложена сила в 40 н. После этого тело проходит по гладкой горизонтальной плоскости без трения 3 м. Затем сила уменьшается до 20 н, и тело проходит еще 3 м. Найдите кинетическую энергию тела в конечной точке его движения.
6. Какая работа должна быть совершена для остановки поезда массой 1 000 т, движущегося со скоростью 108 км/ч?
7. На тело массой 5 кг, движущееся со скоростью 6 м/сек, действует сила в 8 н, направленная в сторону, противоположную движению. В результате скорость тела уменьшается до 2 м/сек. Какую работу по величине и по знаку совершила сила? Какое расстояние прошло тело?
8. На тело, первоначально находившееся в покое, начинает действовать сила в 4 н, направленная под углом 60° к горизонту. Тело движется по гладкой горизонтальной поверхности без трения. Вычислите работу силы, если тело прошло расстояние в 1 м.
9. В чем состоит теорема о кинетической энергии?
Систематизация знаний о равнодействующей всех сил, приложенных к телу; о сложении векторов.
Задачи урока (для учителя):
Образовательные:
- Уточнить и расширить знания о равнодействующей силе и способах ее нахождения.
- Сформировать умения применять понятие равнодействующей силы к обоснованию законов движения (законов Ньютона)
- Выявить уровень усвоения темы;
- Продолжить формирование навыков самоанализа ситуации и самоконтроля.
Воспитательные:
- Содействовать формированию мировоззренческой идеи познаваемости явлений и свойств окружающего мира;
- Подчеркнуть значение модулирования в познаваемости материи;
- Обратить внимание на формирование
общечеловеческих качеств:
a) деловитость,
b) самостоятельность;
c) аккуратность;
d) дисциплинированность;
e) ответственное отношение к учебе.
Развивающие:
a) выделять признаки сходства в описании явлений,
b) анализировать ситуацию
c) делать логические умозаключения на основе этого анализа и имеющихся знаний;
Оборудование и демонстрации.
- Иллюстрации:
эскиз к басне И.А. Крылова “Лебедь, рак и щука”,
эскиз картины И. Репина “Бурлаки на Волге”,
к задаче №108 “Репка” - “Задачник Физика” Г. Остера. - Стрелки цветные на полиэтиленовой основе.
- Копировальная бумага.
- Кодоскоп и пленка с решением двух задач самостоятельной работы.
- Шаталов “Опорные конспекты”.
- Портрет Фарадея.
Оформление доски:
“Если вы в этом
разберетесь как следует,
вы лучше сможете следить
за ходом моей мысли
при изложении дальнейшего”.
М.Фарадей
Ход урока
1. Организационный момент
Проверка:
- отсутствующих;
- наличия дневников, тетрадей, ручек, линеек, карандашей;
Оценка внешнего вида.
2. Повторение
В ходе беседы на уроке повторяем:
- I закон Ньютона.
- Сила – причина ускорения.
- II закон Ньютона.
- Сложение векторов правилу треугольника и параллелограмма.
3. Основной материал
Проблема урока.
“Однажды Лебедь, Рак да Щука
Везти с поклажей воз взялись
И вместе, трое, все в него впряглись;
Из кожи лезут вон,
А возу все нет ходу!
Поклажа бы для них казалась и легка:
Да Лебедь рвется в облака,
Рак пятится назад,
А Щука тянет в воду!
Кто виноват из них, кто прав –
Судить не нам;
Да только воз и ныне там!”(И.А.Крылов)
В басне выражено скептическое отношение к Александру I, она высмеивает неурядицы в Государственном Совете 1816 г. реформы и комитеты, затеваемые Александром I не в силах были стронуть с места глубоко увязший воз самодержавия. В этом-то, с политической точки зрения, Иван Андреевич был прав. Но мы давайте выясним физический аспект. Прав ли Крылов? Для этого необходимо подробнее познакомиться с понятием равнодействующая сил, приложенных к телу.
Сила, равная геометрической сумме всех приложенных к телу (точке) сил, называется равнодействующей или результирующей силой.
Рисунок 1
Как ведет себя данное тело? Либо покоится, либо движется прямолинейно и равномерно, т.к из I закона Ньютона следует, что существуют такие системы отсчета, относительно которых поступательно движущееся тело сохраняет свою скорость постоянной, если на него не действуют другие тела или действие этих тел скомпенсировано,
т. е. |F 1 | = |F 2 | (вводится определение равнодействующей).
Сила, которая производит на тело такое же действие, как и несколько одновременно действующих сил, называется равнодействующей этих сил.
Нахождение равнодействующей нескольких сил - это геометрическое сложение действующих сил; выполняется по правилу треугольника или параллелограмма.
На рисунке 1 R=0, т.к.
Чтобы сложить два вектора, к концу первого вектора прикладывают начало второго и соединяют начало первого с концом второго (манипуляция на доске со стрелками на полиэтиленовой основе). Данный вектор и есть результирующая всех сил, приложенных к телу, т.е. R = F 1 – F 2 = 0
Как можно, опираясь на определение равнодействующей силы, сформулировать I закон Ньютона? Уже известная формулировка I закона Ньютона:
“Если на данное тело не действуют другие тела или действия других тел скомпенсированы (уравновешены), то это тело либо покоится, либо движется прямолинейно и равномерно”.
Новая формулировка I закона Ньютона (дать формулировку I закона Ньютона под запись):
“Если равнодействующая сил, приложенных к телу, равна нулю, то тело сохраняет свое состояние покоя или равномерного прямолинейного движения”.
Как поступить при нахождении равнодействующей, если силы, приложенные к телу, направлены в одну сторону по одной прямой?
Задача №1 (решение задачи №108 Григория Остера из задачника “Физика”).
Дед, взявшись за репку, развивает силу тяги до 600 Н, бабка – до 100 Н, внучка – до 50 Н, Жучка – до 30 Н, кошка – до 10 Н и мышка – до 2 Н. Чему равна равнодействующая всех этих сил, направленных по одной прямой в одну и ту же сторону? Справилась бы с репкой эта компания без мышки, если силы, удерживающие репку в земле, равны 791 Н?
(Манипуляция на доске со стрелками на полиэтиленовой основе).
Ответ. Модуль равнодействующей силы, равный сумме модулей сил, с которыми дед тянет за репку, бабка за дедку, внучка за бабку, Жучка за внучку, кошка за Жучку, а мышка за кошку, будет равен 792 Н. Вклад мускульной силы мышки в этот могучий порыв равен 2 Н. Без Мышкиных ньютонов дело не пойдет.
Задача №2.
А если действующие на тело силы направлены под прямым углом друг к другу? (Манипуляция на доске со стрелками на полиэтиленовой основе).
(Записываем правила с. 104 Шаталов “Опорные конспекты”).
Задача №3.
Попытаемся выяснить, прав ли в басне И.А. Крылов.
Если считать, что сила тяги трех животных, описанных в басне, одинакова и сравнима (или более) с весом воза, а также превышает силу трения покоя, то, используя рисунок 2 (1) к задаче 3, получаем после построения равнодействующей, что И.А. Крылов, безусловно, прав.
Если же использовать данные, приведенные ниже, подготовленные обучающимися заранее, то получаем немного другой результат (см. рисунок 2 (1) к задаче 3).
| Наименование | Размеры, см | Масса, кг | Скорость, м/с |
| Рак (речной) | 0,2 - 0,5 | 0,3 - 0,5 | |
| Щука | 60 -70 | 3,5 – 5,5 | 8,3 |
| Лебедь | 180 | 7 – 10 (13) | 13,9 – 22,2 |
Мощность, развиваемая телами при равномерном прямолинейном движении, которое возможно при равенстве силы тяги и силы сопротивления, может быть рассчитана по следующей формуле.
В этой статье мы подробно остановимся на понятии векторного произведения двух векторов. Мы дадим необходимые определения, запишем формулу для нахождения координат векторного произведения, перечислим и обоснуем его свойства. После этого остановимся на геометрическом смысле векторного произведения двух векторов и рассмотрим решения различных характерных примеров.
Навигация по странице.
Определение векторного произведения.
Прежде чем дать определение векторного произведения, разберемся с ориентацией упорядоченной тройки векторов в трехмерном пространстве.
Отложим векторы от одной точки. В зависимости от направления вектора тройка может быть правой или левой. Посмотрим с конца вектора на то, как происходит кратчайший поворот от вектора к . Если кратчайший поворот происходит против часовой стрелки, то тройка векторов называется правой , в противном случае – левой .
Теперь возьмем два не коллинеарных вектора и . Отложим от точки А векторы и . Построим некоторый вектор , перпендикулярный одновременно и и . Очевидно, что при построении вектора мы можем поступить двояко, задав ему либо одно направление, либо противоположное (смотрите иллюстрацию).
В зависимости от направления вектора упорядоченная тройка векторов может быть правой или левой.
Так мы вплотную подошли к определению векторного произведения. Оно дается для двух векторов, заданных в прямоугольной системе координат трехмерного пространства.
Определение.
Векторным произведением двух векторов и , заданных в прямоугольной системе координат трехмерного пространства, называется такой вектор , что
Векторное произведение векторов и обозначается как .
Координаты векторного произведения.
Сейчас дадим второе определение векторного произведения, которое позволяет находить его координаты по координатам заданных векторов и.
Определение.
В прямоугольной системе координат трехмерного пространства векторное произведение двух векторов
и 
есть вектор , где - координатные векторы.
Это определение дает нам векторное произведение в координатной форме.
Векторное произведение удобно представлять в виде определителя квадратной матрицы третьего порядка, первая строка которой есть орты , во второй строке находятся координаты вектора , а в третьей – координаты вектора в заданной прямоугольной системе координат:
Если разложить этот определитель по элементам первой строки, то получим равенство из определения векторного произведения в координатах (при необходимости обращайтесь к статье ):
Следует отметить, что координатная форма векторного произведения полностью согласуется с определением, данным в первом пункте этой статьи. Более того, эти два определения векторного произведения эквивалентны. Доказательство этого факта можете посмотреть в книге, указанной в конце статьи.
Свойства векторного произведения.
Так как векторное произведение в координатах представимо в виде определителя матрицы , то на основании легко обосновываются следующие свойства векторного произведения :
Для примера докажем свойство антикоммутативности векторного произведения.
По определению 
и 
. Нам известно, что значение определителя матрицы изменяется на противоположное, если переставить местами две строки, поэтому, 
, что доказывает свойство антикоммутативности векторного произведения.
Векторное произведение – примеры и решения.
В основном встречаются три типа задач.
В задачах первого типа заданы длины двух векторов и угол между ними, а требуется найти длину векторного произведения. В этом случае используется формула 
.
Пример.
Найдите длину векторного произведения векторов и , если известно 
.
Решение.
Мы знаем из определения, что длина векторного произведения векторов и равна произведению длин векторов и на синус угла между ними, поэтому, 
.
Ответ:
.
Задачи второго типа связаны с координатами векторов, в них векторное произведение, его длина или что-либо еще ищется через координаты заданных векторов и .
Здесь возможна масса различных вариантов. К примеру, могут быть заданы не координаты векторов и , а их разложения по координатным векторам вида 
и , или векторы и могут быть заданы координатами точек их начала и конца.
Рассмотрим характерные примеры.
Пример.
В прямоугольной системе координат заданы два вектора 
. Найдите их векторное произведение.
Решение.
По второму определению векторное произведение двух векторов в координатах записывается как:
К такому же результату мы бы пришли, если бы векторное произведение записали через определитель
Ответ:
.
Пример.
Найдите длину векторного произведения векторов и , где - орты прямоугольной декартовой системы координат.
Решение.
Сначала найдем координаты векторного произведения 
в заданной прямоугольной системе координат.
Так как векторы и имеют координаты и соответственно (при необходимости смотрите статью координаты вектора в прямоугольной системе координат), то по второму определению векторного произведения имеем
То есть, векторное произведение имеет координаты в заданной системе координат.
Длину векторного произведения находим как корень квадратный из суммы квадратов его координат (эту формулу длины вектора мы получили в разделе нахождение длины вектора):
Ответ:
.
Пример.
В прямоугольной декартовой системе координат заданы координаты трех точек . Найдите какой-нибудь вектор, перпендикулярный и одновременно.
Решение.
Векторы и имеют координаты и соответственно (смотрите статью нахождение координат вектора через координаты точек). Если найти векторное произведение векторов и , то оно по определению является вектором, перпендикулярным и к и к , то есть, является решением нашей задачи. Найдем его
Ответ:
- один из перпендикулярных векторов.
В задачах третьего типа проверяется навык использования свойств векторного произведения векторов. После применения свойств, применяются соответствующие формулы.
Пример.
Векторы и перпендикулярны и их длины равны соответственно 3
и 4
. Найдите длину векторного произведения 
.
Решение.
По свойству дистрибутивности векторного произведения мы можем записать
В силу сочетательного свойства вынесем числовые коэффициенты за знак векторных произведений в последнем выражении:
Векторные произведения и равны нулю, так как 
и 
, тогда .
Так как векторное произведение антикоммутативно, то .
Итак, с помощью свойств векторного произведения мы пришли к равенству 
.
По условию векторы и перпендикулярны, то есть угол между ними равен . То есть, у нас есть все данные для нахождения требуемой длины
Ответ:
.
Геометрический смысл векторного произведения.
По определению длина векторного произведения векторов равна 
. А из курса геометрии средней школы нам известно, что площадь треугольника равна половине произведения длин двух сторон треугольника на синус угла между ними. Следовательно, длина векторного произведения равна удвоенной площади треугольника, имеющего сторонами векторы и , если их отложить от одной точки. Другими словами, длина векторного произведения векторов и равна площади параллелограмма со сторонами и и углом между ними, равным
. В этом состоит геометрический смысл векторного произведения.
На данном уроке мы рассмотрим ещё две операции с векторами: векторное произведение векторов и смешанное произведение векторов (сразу ссылка, кому нужно именно оно) . Ничего страшного, так иногда бывает, что для полного счастья, помимо скалярного произведения векторов , требуется ещё и ещё. Такая вот векторная наркомания. Может сложиться впечатление, что мы залезаем в дебри аналитической геометрии. Это не так. В данном разделе высшей математики вообще мало дров, разве что на Буратино хватит. На самом деле материал очень распространенный и простой – вряд ли сложнее, чем то же скалярное произведение , даже типовых задач поменьше будет. Главное в аналитической геометрии, как многие убедятся или уже убедились, НЕ ОШИБАТЬСЯ В ВЫЧИСЛЕНИЯХ. Повторяйте как заклинание, и будет вам счастье =)
Если векторы сверкают где-то далеко, как молнии на горизонте, не беда, начните с урока Векторы для чайников , чтобы восстановить или вновь приобрести базовые знания о векторах. Более подготовленные читатели могут знакомиться с информацией выборочно, я постарался собрать максимально полную коллекцию примеров, которые часто встречаются в практических работах
Чем вас сразу порадовать? Когда я был маленьким, то умел жонглировать двумя и даже тремя шариками. Ловко получалось. Сейчас жонглировать не придётся вообще, поскольку мы будем рассматривать только пространственные векторы , а плоские векторы с двумя координатами останутся за бортом. Почему? Такими уж родились данные действия – векторное и смешанное произведение векторов определены и работают в трёхмерном пространстве. Уже проще!
В данной операции, точно так же, как и в скалярном произведении, участвуют два вектора . Пусть это будут нетленные буквы .
Само действие обозначается следующим образом: . Существуют и другие варианты, но я привык обозначать векторное произведение векторов именно так, в квадратных скобках с крестиком.
И сразу вопрос : если в скалярном произведении векторов участвуют два вектора, и здесь тоже умножаются два вектора, тогда в чём разница ? Явная разница, прежде всего, в РЕЗУЛЬТАТЕ:
Результатом скалярного произведения векторов является ЧИСЛО:
Результатом векторного произведения векторов является ВЕКТОР : , то есть умножаем векторы и получаем снова вектор. Закрытый клуб. Собственно, отсюда и название операции. В различной учебной литературе обозначения тоже могут варьироваться, я буду использовать букву .
Определение векторного произведения
Сначала будет определение с картинкой, затем комментарии.
Определение
: Векторным произведением неколлинеарных
векторов , взятых в данном порядке
, называется ВЕКТОР , длина
которого численно равна площади параллелограмма
, построенного на данных векторах; вектор ортогонален векторам
, и направлен так, что базис имеет правую ориентацию:
Разбираем определение по косточкам, тут много интересного!
Итак, можно выделить следующие существенные моменты:
1) Исходные векторы , обозначенные красными стрелками, по определению не коллинеарны . Случай коллинеарных векторов будет уместно рассмотреть чуть позже.
2) Векторы взяты в строго определённом порядке
: – «а» умножается на «бэ»
, а не «бэ» на «а». Результатом умножения векторов
является ВЕКТОР , который обозначен синим цветом. Если векторы умножить в обратном порядке, то получим равный по длине и противоположный по направлению вектор (малиновый цвет). То есть, справедливо равенство 
.
3) Теперь познакомимся с геометрическим смыслом векторного произведения. Это очень важный пункт! ДЛИНА синего вектора (а, значит, и малинового вектора ) численно равна ПЛОЩАДИ параллелограмма, построенного на векторах . На рисунке данный параллелограмм заштрихован чёрным цветом.
Примечание : чертёж является схематическим, и, естественно, номинальная длина векторного произведения не равна площади параллелограмма.
Вспоминаем одну из геометрических формул: площадь параллелограмма равна произведению смежных сторон на синус угла между ними . Поэтому, исходя из вышесказанного, справедлива формула вычисления ДЛИНЫ векторного произведения:
Подчёркиваю, что в формуле речь идёт о ДЛИНЕ вектора, а не о самом векторе . Каков практический смысл? А смысл таков, что в задачах аналитической геометрии площадь параллелограмма часто находят через понятие векторного произведения:
Получим вторую важную формулу. Диагональ параллелограмма (красный пунктир) делит его на два равных треугольника. Следовательно, площадь треугольника, построенного на векторах (красная штриховка), можно найти по формуле:
4) Не менее важный факт состоит в том, что вектор ортогонален векторам , то есть 
. Разумеется, противоположно направленный вектор (малиновая стрелка) тоже ортогонален исходным векторам .
5) Вектор направлен так, что базис имеет правую ориентацию. На уроке о переходе к новому базису я достаточно подробно рассказал об ориентации плоскости , и сейчас мы разберёмся, что такое ориентация пространства. Объяснять буду на пальцах вашей правой руки . Мысленно совместите указательный палец с вектором и средний палец с вектором . Безымянный палец и мизинец прижмите к ладони. В результате большой палец – векторное произведение будет смотреть вверх. Это и есть правоориентированный базис (на рисунке именно он). Теперь поменяйте векторы (указательный и средний пальцы ) местами, в результате большой палец развернётся, и векторное произведение уже будет смотреть вниз. Это тоже правоориентированный базис. Возможно, у вас возник вопрос: а какой базис имеет левую ориентацию? «Присвойте» тем же пальцам левой руки векторы , и полУчите левый базис и левую ориентацию пространства (в этом случае большой палец расположится по направлению нижнего вектора) . Образно говоря, данные базисы «закручивают» или ориентируют пространство в разные стороны. И это понятие не следует считать чем-то надуманным или абстрактным – так, например, ориентацию пространства меняет самое обычное зеркало, и если «вытащить отражённый объект из зазеркалья», то его в общем случае не удастся совместить с «оригиналом». Кстати, поднесите к зеркалу три пальца и проанализируйте отражение;-)
…как всё-таки хорошо, что вы теперь знаете о право- и левоориентированных базисах, ибо страшнЫ высказывания некоторых лекторов о смене ориентации =)
Векторное произведение коллинеарных векторов
Определение подробно разобрано, осталось выяснить, что происходит, когда векторы коллинеарны. Если векторы коллинеарны, то их можно расположить на одной прямой и наш параллелограмм тоже «складывается» в одну прямую. Площадь такого, как говорят математики, вырожденного параллелограмма равна нулю. Это же следует и из формулы – синус нуля или 180-ти градусов равен нулю, а значит, и площадь нулевая
Таким образом, если , то 
и 
. Обратите внимание, что само векторное произведение равно нулевому вектору, но на практике этим часто пренебрегают и пишут, что оно тоже равно нулю.
Частный случай – векторное произведение вектора на самого себя:
С помощью векторного произведения можно проверять коллинеарность трёхмерных векторов, и данную задачу среди прочих мы тоже разберём.
Для решения практических примеров может потребоваться тригонометрическая таблица , чтобы находить по ней значения синусов.
Ну что же, разжигаем огонь:
Пример 1
а) Найти длину векторного произведения векторов , если 
б) Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах , если 
Решение : Нет, это не опечатка, исходные данные в пунктах условия я намеренно сделал одинаковыми. Потому что оформление решений будет отличаться!
а) По условию требуется найти длину
вектора (векторного произведения). По соответствующей формуле:
Ответ :
Коль скоро спрашивалось о длине, то в ответе указываем размерность – единицы.
б) По условию требуется найти площадь
параллелограмма, построенного на векторах . Площадь данного параллелограмма численно равна длине векторного произведения:
Ответ :
Обратите внимание, что в ответе о векторном произведении речи не идёт вообще, нас спрашивали о площади фигуры , соответственно, размерность – квадратные единицы.
Всегда смотрим, ЧТО требуется найти по условию, и, исходя из этого, формулируем чёткий ответ. Может показаться буквоедством, но буквоедов среди преподавателей хватает, и задание с хорошими шансами вернётся на доработку. Хотя это не особо натянутая придирка – если ответ некорректен, то складывается впечатление, что человек не разбирается в простых вещах и/или не вник в суть задания. Этот момент всегда нужно держать на контроле, решая любую задачу по высшей математике, да и по другим предметам тоже.
Куда подевалась большая буковка «эн»? В принципе, её можно было дополнительно прилепить в решение, но в целях сократить запись, я этого не сделал. Надеюсь, всем понятно, что и – это обозначение одного и того же.
Популярный пример для самостоятельного решения:
Пример 2
Найти площадь треугольника, построенного на векторах , если 
Формула нахождения площади треугольника через векторное произведение дана в комментариях к определению. Решение и ответ в конце урока.
На практике задача действительно очень распространена, треугольниками вообще могут замучить.
Для решения других задач нам понадобятся:
Свойства векторного произведения векторов
Некоторые свойства векторного произведения мы уже рассмотрели, тем не менее, я их включу в данный список.
Для произвольных векторов и произвольного числа справедливы следующие свойства:
1) В других источниках информации данный пункт обычно не выделяют в свойствах, но он очень важен в практическом плане. Поэтому пусть будет.
2) 
– свойство тоже разобрано выше, иногда его называют антикоммутативностью
. Иными словами, порядок векторов имеет значение.
3) – сочетательные или ассоциативные законы векторного произведения. Константы безпроблемно выносятся за пределы векторного произведения. Действительно, чего им там делать?
4) – распределительные или дистрибутивные законы векторного произведения. С раскрытием скобок тоже нет проблем.
В качестве демонстрации рассмотрим коротенький пример:
Пример 3
Найти , если 
Решение:
По условию снова требуется найти длину векторного произведения. Распишем нашу миниатюру:
(1) Согласно ассоциативным законам, выносим константы за переделы векторного произведения.
(2) Выносим константу за пределы модуля, при этом модуль «съедает» знак «минус». Длина же не может быть отрицательной.
(3) Дальнейшее понятно.
Ответ
: 
Пора подбросить дров в огонь:
Пример 4
Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах , если 
Решение
: Площадь треугольника найдём по формуле 
. Загвоздка состоит в том, что векторы «цэ» и «дэ» сами представлены в виде сумм векторов. Алгоритм здесь стандартен и чем-то напоминает примеры № 3 и 4 урока Скалярное произведение векторов
. Решение для ясности разобьём на три этапа:
1) На первом шаге выразим векторное произведение через векторное произведение , по сути, выразим вектор через вектор . О длинах пока ни слова!
(1) Подставляем выражения векторов .
(2) Используя дистрибутивные законы, раскрываем скобки по правилу умножения многочленов.
(3) Используя ассоциативные законы, выносим все константы за пределы векторных произведений. При маломальском опыте действия 2 и 3 можно выполнять одновременно.
(4) Первое и последнее слагаемое равно нулю (нулевому вектору) благодаря приятному свойству . Во втором слагаемом используем свойство антикоммутативности векторного произведения:
(5) Приводим подобные слагаемые.
В результате вектор оказался выражен через вектор, чего и требовалось достичь:
2) На втором шаге найдем длину нужного нам векторного произведения. Данное действие напоминает Пример 3:
3) Найдём площадь искомого треугольника:
Этапы 2-3 решения можно было оформить и одной строкой.
Ответ :
Рассмотренная задача достаточно распространена в контрольных работах, вот пример для самостоятельного решения:
Пример 5
Найти , если
Краткое решение и ответ в конце урока. Посмотрим, насколько вы были внимательны при изучении предыдущих примеров;-)
Векторное произведение векторов в координатах
, заданных в ортонормированном базисе , выражается формулой :
Формула и правда простецкая: в верхнюю строку определителя записываем координатные векторы, во вторую и третью строки «укладываем» координаты векторов , причём укладываем в строгом порядке
– сначала координаты вектора «вэ», затем координаты вектора «дубль-вэ». Если векторы нужно умножить в другом порядке, то и строки следует поменять местами:
Пример 10
Проверить, будут ли коллинеарны следующие векторы пространства:
а)
б) 
Решение
: Проверка основана на одном из утверждений данного урока: если векторы коллинеарны, то их векторное произведение равно нулю (нулевому вектору): 
.
а) Найдём векторное произведение:
Таким образом, векторы не коллинеарны.
б) Найдём векторное произведение:
Ответ : а) не коллинеарны, б)
Вот, пожалуй, и все основные сведения о векторном произведении векторов.
Данный раздел будет не очень большим, так как задач, где используется смешанное произведение векторов, немного. Фактически всё будет упираться в определение, геометрический смысл и пару рабочих формул.
Смешанное произведение векторов – это произведение трёх векторов
:
Вот так вот они выстроились паровозиком и ждут, не дождутся, когда их вычислят.
Сначала опять определение и картинка:
Определение : Смешанным произведением некомпланарных векторов , взятых в данном порядке , называется объём параллелепипеда , построенного на данных векторах, снабжённый знаком «+», если базис правый, и знаком «–», если базис левый.
Выполним рисунок. Невидимые нам линии прочерчены пунктиром:
Погружаемся в определение:
2) Векторы взяты в определённом порядке , то есть перестановка векторов в произведении , как вы догадываетесь, не проходит без последствий.
3) Перед тем, как прокомментировать геометрический смысл, отмечу очевидный факт: смешанное произведение векторов является ЧИСЛОМ : . В учебной литературе оформление может быть несколько другим, я привык обозначать смешанное произведение через , а результат вычислений буквой «пэ».
По определению смешанное произведение – это объем параллелепипеда , построенного на векторах (фигура прочерчена красными векторами и линиями чёрного цвета). То есть, число равно объему данного параллелепипеда.
Примечание : чертёж является схематическим.
4) Не будем заново париться с понятием ориентации базиса и пространства. Смысл заключительной части состоит в том, что к объёму может добавляться знак минус. Простыми словами, смешанное произведение может быть отрицательным: .
Непосредственно из определения следует формула вычисления объема параллелепипеда, построенного на векторах .
Контрольная работа №1
Векторы. Элементы высшей алгебры
1-20. Известны длины векторов и и; – угол между этими векторами.
Вычислить: 1) и, 2) .3) Найти площадь треугольника, построенного на векторах и.
Сделать чертеж.
Решение. Используя определение скалярного произведения векторов:
И свойства скалярного
произведения:
,
1) находим скалярный квадрат вектора:
то есть, Тогда .
Рассуждая аналогично, получаем
то есть, Тогда .
По определению векторного произведения: ,
с учетом того, что
Площадь треугольника построенного на векторах и равна
21-40. Известны координаты трех вершин A, B, D параллелограмма ABCD . Средствами векторной алгебры требуется:
A (3;0;-7), B (2;4;6), D (-7;-5;1)
Решение.
Известно, что диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам. Поэтому координаты точки E - пересечения диагоналей - найдем как координаты середины отрезка BD . Обозначая их через x E ,y E , z E получим, что
Получаем .
Зная координаты точки E - середины диагонали BD и координаты одного из его концов A (3;0;-7), по формулам определяем искомые координаты вершины С параллелограмма:
Итак, вершина .
2) Чтобы найти проекцию вектора на вектор , найдем координаты этих векторов: ,
аналогично . Проекцию вектора на вектор , находим по формуле:
3) Угол между диагоналями параллелограмма находим как угол между векторами
И по свойству скалярного произведения:
тогда
4) Площадь параллелограмма находим как модуль векторного произведения:
5) Объем пирамиды находим как одну шестую модуля смешанного произведения векторов , где О(0;0;0), тогда
Тогда искомый объем (куб.ед.)
41-60. Даны матрицы:
В ·С -1 +3A T
Обозначения:
Сначала находим обратную матрицу к матрице С.
Для этого находим ее определитель:
Определитель отличен от нуля, следовательно, матрица является невырожденной и для нее можно найти обратную матрицу С -1
Найдем алгебраические дополнения по формуле , где - минор элемента :
Тогда , .
61–80. Решите систему линейных уравнений:
Методом Крамера; 2. Матричным методом.
Решение.
а) метод Крамера
Найдем определитель системы
Так как , то система имеет единственное решение.
Найдем определители и , заменив в матрице коэффициентов соответственно первый, второй, третий столбцы столбцом свободных членов.
По формулам Крамера:
б) матричный метод (с помощью обратной матрицы).
Данную систему запишем в матричной форме и решим с помощью обратной матрицы.
Пусть А – матрица коэффициентов при неизвестных; X – матрица-столбец неизвестных x , y , z и Н – матрица-столбец из свободных членов:
Левую часть системы (1) можно записать в виде произведения матриц , а правую в виде матрицы Н . Следовательно имеем матричное уравнение
Так как определитель матрицы А отличен от нуля (пункт «а»), то матрица А имеет обратную матрицу . Умножим обе части равенства (2) слева на матрицу , получим
Так как , где Е – единичная матрица, а , то
Пусть имеем невырожденную матрицу А:
Тогда обратную матрицу находим по формуле:
где A ij - алгебраическое дополнение элемента a ij в определителе матрицы А , которое является произведением (-1) i+j на минор (определитель) n-1 порядка, полученный вычеркиванием i-й строки и j-го столбца в определителе матрицы А:
Отсюда получаем обратную матрицу:
Столбец X: X=A -1 H
81–100. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса
Решение. Запишем систему в виде расширенной матрицы:
Выполняем элементарные преобразования со строками.
Из 2-ой строки вычитаем первую строку, умноженную на 2. Из строки 3 вычитаем первую строку, умноженную на 4. Из строки 4 вычитаем первую строку, получаем матрицу:
Далее получаем нуль в первом столбце последующих строк, для этого из второй строки вычитаем третью строку. Из третьей строки вычитаем вторую строку, умноженную на 2. Из четвертой строки вычитаем вторую строку, умноженную на 3. В результате получаем матрицу вида:
Из четвертой строки вычитаем третью.
Поменяем местами предпоследнюю и последнюю строки:
Последняя матрица равносильна системе уравнений:
Из последнего уравнения системы находим .
Подставляя
в предпоследнее уравнение, получаем
.
Из
второго уравнения системы следует, что
Из первого уравнения находим х:
Ответ:
Контрольная работа №2
Аналитическая геометрия
1-20. Даны координаты вершин треугольника АВС. Найти:
1) длину стороны A В ;
2) уравнения сторон АВ и ВС и их угловые коэффициенты;
3) угол В в радианах с точностью до двух знаков;
4) уравнение высоты CD и её длину;
5) уравнение медианы АЕ
высотой CD ;
К параллельно стороне АВ,
7) сделать чертёж.
А(3;6), В(15;-3), С(13;11)
Решение.
Применяя (1), находим длину стороны АВ :
2) уравнения сторон АВ и ВС и их угловые коэффициенты:
Уравнение прямой, проходящей через точки и , имеет вид
Подставляя в (2) координаты точек А и В , получим уравнение стороны АВ :
(АВ
).
(BC
).
3) угол В в радианах с точностью до двух знаков.
Известно, что тангенс угла между двумя прямыми, угловые коэффициенты, которых соответственно равны и вычисляется по формуле
Искомый угол В образован прямыми АВ и ВС , угловые коэффициенты которых найдены: ; . Применяя (3), получим
;
, или
4) уравнение высоты CD и её длина.
Расстояние
от точки С до прямой АВ:
5) уравнение медианы АЕ и координаты точки К пересечения этой медианы с
высотой CD .
середина стороны ВС:
Тогда уравнение АЕ:
Решаем систему уравнений:
6) уравнение прямой, проходящей через точку К параллельно стороне АВ :
Так как искомая прямая параллельна стороне АВ , то ее угловой коэффициент будет равен угловому коэффициенту прямой АВ . Подставив в (4) координаты найденной точки К и угловой коэффициент , получим
; (KF ).
Площадь параллелограмма равна 12 кв. ед., две его вершины – точкиА(-1;3) и В(-2;4). Найти две другие вершины этого параллелограмма, если известно, что точка пересечения его диагоналей лежит на оси абсцисс. Сделать чертёж.
Решение. Пусть точка пересечения диагоналей имеет координаты .
Тогда очевидно, что и
следовательно, координаты векторов .
Площадь параллелограмма находим по формуле
Тогда координаты двух других вершин .
В задачах 51-60 даны координаты точек А и В . Требуется:
Составить каноническое уравнение гиперболы, проходящей через данные точкиА и В, если фокусы гиперболы расположены на оси абсцисс;
Найти полуоси, фокусы, эксцентриситет и уравнения асимптот этой гиперболы;
Найти все точки пересечения гиперболы с окружностью с центром в начале координат, если эта окружность проходит через фокусы гиперболы;
Построить гиперболу, её асимптоты и окружность.
А(6;-2), В(-8;12).
Решение. Уравнение искомой гиперболы в каноническом виде записывается
где a - действительная полуось гиперболы, b - мнимая полуось. Подставляя координаты точек А и В в это уравнение найдем эти полуоси:
– уравнение гиперболы: .
Полуоси а=4,
фокусное расстояние Фокусы (-8,0) и (8,0)
Эксцентриситет
Асиптоты:
Если окружность проходит через начало координат, ее уравнение
Подставляя один из фокусов, находим и уравнение окружности
Находим точки пересечения гиперболы и окружности:
Строим чертеж:
В задачах 61-80 построить график функции в полярной системе координат по точкам, придавая значения через промежуток /8 (0 2). Найти уравнение линии в прямоугольной декартовой системе координат (положительная полуось абсцисс совпадает с полярной осью, а полюс – с началом координат).
Решение. Построим линию по точкам, предварительно заполнив таблицу значений и φ.
|
Номер |
φ , |
φ, градусы |
Номер |
φ , рад |
градусы |
|||
|
3∙(x 2 +2∙1x + 1) -3∙1 = 3(x+1) 2 - 3 делаем вывод, что данное уравнение определяет эллипс: Даны точки А, В, С, D. Требуется найти: 1. Уравнение плоскости(Q ), проходящей через точкиА, В, С D в плоскости (Q) ; 2. Уравнение прямой (I), проходящей через точкиВ и D; 3. Угол между плоскостью (Q) и прямой (I) ; 4. Уравнение плоскости (Р), проходящей через точкуА перпендикулярно прямой (I) ; 5. Угол между плоскостями (Р) и (Q ) ; 6. Уравнение прямой (т), проходящей через точку А в направлении ее радиус-вектора; 7. Угол между прямыми (I) и (т). А(9;-8;1), В(-9;4;5), С(9;-5;5), D (6;4;0) 1. Уравнение плоскости(Q ), проходящей через точки А, В, С и проверить, лежит ли точка D в плоскости определяется по формуле Найти : 1) . 2) Площадь параллелограмма, построенного на и. 3) Объем параллелепипеда, построенного на векторах , и. Контрольная работа по теме «Элементы теории линейных пространств... Методические рекомендации по выполнению контрольных работ для бакалавриата заочной формы обучения по квалификации 080100. 62 по направлениюМетодические рекомендацииПараллелепипеда и объем пирамиды, построенных на векторах , и. Решение: 2-=2(1;1;1)-(2;1;4)= (2;2;2)-(2;1;4)=(0;1;-2).. . . . . 4.ЗАДАЧИ ДЛЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ Раздел I. Линейная алгебра . 1 – 10. Дана... |
