Основное тригонометрическое тождество. Формулы сложения
Тригонометрические тождества - это равенства, которые устанавливают связь между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного угла, которая позволяет находить любую из данных функций при условии, что будет известна какая-либо другая.
\[ \sin^{2}\alpha + \cos^{2} \alpha = 1 \]
\[ tg \alpha = \dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha}, \enspace ctg \alpha = \dfrac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \]
\[ tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1 \]
Зависимость между синусом и косинусом
\[ \sin^{2} \alpha+\cos^{2} \alpha=1 \]
Данное тождество говорит о том, что сумма квадрата синуса одного угла и квадрата косинуса одного угла равна единице, что на практике дает возможность вычислить синус одного угла, когда известен его косинус и наоборот.
При преобразовании тригонометрических выражений очень часто используют данное тождество, которое позволяет заменять единицей сумму квадратов косинуса и синуса одного угла и также производить операцию замены в обратном порядке.
Нахождение тангенса и котангенса через синус и косинус
\[ tg \alpha = \dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha},\enspace ctg \alpha=\dfrac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \]
Данные тождества образуются из определений синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Ведь если разобраться, то по определению ординатой \(\dfrac{y}{x}=\dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \) , а отношение \(\dfrac{x}{y}=\dfrac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \) - будет являться котангенсом.
Добавим, что только для таких углов \(\alpha \) , при которых входящие в них тригонометрические функции имеют смысл, будут иметь место тождества , .
Например: \(tg \alpha = \dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \) является справедливой для углов \(\alpha \) , которые отличны от \(\dfrac{\pi}{2}+\pi z \) , а \(ctg \alpha=\dfrac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \) - для угла \(\alpha \) , отличного от \(\pi z \) , \(z \) - является целым числом.
Зависимость между тангенсом и котангенсом
\[ tg \alpha \cdot ctg \alpha=1 \]
Данное тождество справедливо только для таких углов \(\alpha \) , которые отличны от \(\dfrac{\pi}{2} z \) . Иначе или котангенс или тангенс не будут определены.
Опираясь на вышеизложенные пункты, получаем, что \(tg \alpha = \dfrac{y}{x} \) , а \(ctg \alpha=\dfrac{x}{y} \) . Отсюда следует, что \(tg \alpha \cdot ctg \alpha = \dfrac{y}{x} \cdot \dfrac{x}{y}=1 \) . Таким образом, тангенс и котангенс одного угла, при котором они имеют смысл, являются взаимно обратными числами.
Зависимости между тангенсом и косинусом, котангенсом и синусом
\(tg^{2} \alpha + 1=\dfrac{1}{\cos^{2} \alpha} \) - сумма квадрата тангенса угла \(\alpha \) и \(\alpha \) , отличных от \(\dfrac{\pi}{2}+ \pi z \) .
\(1+ctg^{2} \alpha=\dfrac{1}{\sin^{2}\alpha} \) - сумма \(\alpha \) , равняется обратному квадрату синуса данного угла. Данное тождество справедливо для любого \(\alpha \) , отличного от \(\pi z \) .
В вашем браузере отключен Javascript.Чтобы произвести расчеты, необходимо разрешить элементы ActiveX!
Тригонометрические функции - Запрос «sin» перенаправляется сюда; см. также другие значения. Запрос «sec» перенаправляется сюда; см. также другие значения. Запрос «Синус» перенаправляется сюда; см. также другие значения … Википедия
Tan
Рис. 1 Графики тригонометрических функций: синуса, косинуса, тангенса, секанса, косеканса, котангенса Тригонометрические функции вид элементарных функций. Обычно к ним относят синус (sin x), косинус (cos x), тангенс (tg x), котангенс (ctg x),… … Википедия
Косинус - Рис. 1 Графики тригонометрических функций: синуса, косинуса, тангенса, секанса, косеканса, котангенса Тригонометрические функции вид элементарных функций. Обычно к ним относят синус (sin x), косинус (cos x), тангенс (tg x), котангенс (ctg x),… … Википедия
Котангенс - Рис. 1 Графики тригонометрических функций: синуса, косинуса, тангенса, секанса, косеканса, котангенса Тригонометрические функции вид элементарных функций. Обычно к ним относят синус (sin x), косинус (cos x), тангенс (tg x), котангенс (ctg x),… … Википедия
Секанс - Рис. 1 Графики тригонометрических функций: синуса, косинуса, тангенса, секанса, косеканса, котангенса Тригонометрические функции вид элементарных функций. Обычно к ним относят синус (sin x), косинус (cos x), тангенс (tg x), котангенс (ctg x),… … Википедия
История тригонометрии - Геодезические измерения (XVII век) … Википедия
Формула тангенса половинного угла - В тригонометрии, формула тангенса половинного угла связывает тангенс половинного угла с тригонометрическими функциями полного угла: Различные вариации этой формулы выглядят следующим образом … Википедия
Тригонометрия - (от греч. τρίγονο (треугольник) и греч. μετρειν (измерять), то есть измерение треугольников) раздел математики, в котором изучаются тригонометрические функции и их приложения к геометрии. Данный термин впервые появился в 1595 г. как… … Википедия
Решение треугольников - (лат. solutio triangulorum) исторический термин, означающий решение главной тригонометрической задачи: по известным данным о треугольнике (стороны, углы и т. д.) найти остальные его характеристики. Треугольник может располагаться на… … Википедия
Книги
- Комплект таблиц. Алгебра и начала анализа. 10 класс. 17 таблиц + методика , . Таблицы отпечатаны на плотном полиграфическом картоне размером 680 х 980 мм. В комплект входит брошюра с методическими рекомендациями для учителя. Учебный альбом из 17 листов.… Купить за 4339 руб
- Таблицы интегралов и другие математические формулы , Г. Б. Двайт. Девятое издание известного справочника содержит весьма подробные таблицы неопределенных и определенных интегралов, а также большое число других математических формул: разложения в ряды,…
Тригонометрические тождества — это равенства, которые устанавливают связь между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного угла, которая позволяет находить любую из данных функций при условии, что будет известна какая-либо другая.
tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}, \enspace ctg \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}
tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1
Данное тождество говорит о том, что сумма квадрата синуса одного угла и квадрата косинуса одного угла равна единице, что на практике дает возможность вычислить синус одного угла, когда известен его косинус и наоборот.
При преобразовании тригонометрических выражений очень часто используют данное тождество, которое позволяет заменять единицей сумму квадратов косинуса и синуса одного угла и также производить операцию замены в обратном порядке.
Нахождение тангенса и котангенса через синус и косинус
tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha},\enspace
Данные тождества образуются из определений синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Ведь если разобраться, то по определению ординатой y является синус, а абсциссой x — косинус. Тогда тангенс будет равен отношению \frac{y}{x}=\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} , а отношение \frac{x}{y}=\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} — будет являться котангенсом.
Добавим, что только для таких углов \alpha , при которых входящие в них тригонометрические функции имеют смысл, будут иметь место тождества , ctg \alpha=\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} .
Например: tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} является справедливой для углов \alpha , которые отличны от \frac{\pi}{2}+\pi z , а ctg \alpha=\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} — для угла \alpha , отличного от \pi z , z — является целым числом.
Зависимость между тангенсом и котангенсом
tg \alpha \cdot ctg \alpha=1
Данное тождество справедливо только для таких углов \alpha , которые отличны от \frac{\pi}{2} z . Иначе или котангенс или тангенс не будут определены.
Опираясь на вышеизложенные пункты, получаем, что tg \alpha = \frac{y}{x} , а ctg \alpha=\frac{x}{y} . Отсюда следует, что tg \alpha \cdot ctg \alpha = \frac{y}{x} \cdot \frac{x}{y}=1 . Таким образом, тангенс и котангенс одного угла, при котором они имеют смысл, являются взаимно обратными числами.
Зависимости между тангенсом и косинусом, котангенсом и синусом
tg^{2} \alpha + 1=\frac{1}{\cos^{2} \alpha} — сумма квадрата тангенса угла \alpha и 1 , равна обратному квадрату косинуса этого угла. Данное тождество справедливо для всех \alpha , отличных от \frac{\pi}{2}+ \pi z .
1+ctg^{2} \alpha=\frac{1}{\sin^{2}\alpha} — сумма 1 и квадрат котангенса угла \alpha , равняется обратному квадрату синуса данного угла. Данное тождество справедливо для любого \alpha , отличного от \pi z .
Примеры с решениями задач на использование тригонометрических тождеств
Пример 1
Найдите \sin \alpha и tg \alpha , если \cos \alpha=-\frac12 и \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi ;
Показать решение
Решение
Функции \sin \alpha и \cos \alpha связывает формула \sin^{2}\alpha + \cos^{2} \alpha = 1 . Подставив в эту формулу \cos \alpha = -\frac12 , получим:
\sin^{2}\alpha + \left (-\frac12 \right)^2 = 1
Это уравнение имеет 2 решения:
\sin \alpha = \pm \sqrt{1-\frac14} = \pm \frac{\sqrt 3}{2}
По условию \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi . Во второй четверти синус положителен, поэтому \sin \alpha = \frac{\sqrt 3}{2} .
Для того, чтобы найти tg \alpha , воспользуемся формулой tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}
tg \alpha = \frac{\sqrt 3}{2} : \frac12 = \sqrt 3
Пример 2
Найдите \cos \alpha и ctg \alpha , если и \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi .
Показать решение
Решение
Подставив в формулу \sin^{2}\alpha + \cos^{2} \alpha = 1 данное по условию число \sin \alpha=\frac{\sqrt3}{2} , получаем \left (\frac{\sqrt3}{2}\right)^{2} + \cos^{2} \alpha = 1 . Это уравнение имеет два решения \cos \alpha = \pm \sqrt{1-\frac34}=\pm\sqrt\frac14 .
По условию \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi . Во второй четверти косинус отрицателен, поэтому \cos \alpha = -\sqrt\frac14=-\frac12 .
Для того, чтобы найти ctg \alpha , воспользуемся формулой ctg \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} . Соответствующие величины нам известны.
ctg \alpha = -\frac12: \frac{\sqrt3}{2} = -\frac{1}{\sqrt 3} .
В статье подробно рассказывается об основных тригонометрических тождествах.Эти равенства устанавливают связь между sin , cos , t g , c t g заданного угла. При известной одной функции можно через нее найти другую.
Тригонометрические тождества для рассмотрения в денной статье. Ниже покажем пример их выведения с объяснением.
sin 2 α + cos 2 α = 1 t g α = sin α cos α , c t g α = cos α sin α t g α · c t g α = 1 t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α , 1 + c t g 2 α = 1 sin 2 α
Поговорим о важном тригонометрическом тождестве, которое считается основой основ в тригонометрии.
sin 2 α + cos 2 α = 1
Заданные равенства t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α , 1 + c t g 2 α = 1 sin 2 α выводят из основного путем деления обеих частей на sin 2 α и cos 2 α . После чего получаем t g α = sin α cos α , c t g α = cos α sin α и t g α · c t g α = 1 - это следствие определений синуса, косинуса, тангенса и котангенса.
Равенство sin 2 α + cos 2 α = 1 является основным тригонометрическим тождеством. Для его доказательства необходимо обратиться к теме с единичной окружностью.
Пусть даны координаты точки А (1 , 0) , которая после поворота на угол α становится в точку А 1 . По определению sin и cos точка А 1 получит координаты (cos α , sin α) . Так как А 1 находится в пределах единичной окружности, значит, координаты должны удовлетворят условию x 2 + y 2 = 1 этой окружности. Выражение cos 2 α + sin 2 α = 1 должно быть справедливым. Для этого необходимо доказать основное тригонометрическое тождество для всех углов поворота α .
В тригонометрии выражение sin 2 α + cos 2 α = 1 применяют как теорему Пифагора в тригонометрии. Для этого рассмотрим подробное доказательство.
Используя единичную окружность, поворачиваем точку А с координатами (1 , 0) вокруг центральной точки О на угол α . После поворота точка меняет координаты и становится равной А 1 (х, у) . Опускаем перпендикулярную прямую А 1 Н на О х из точки А 1 .
На рисунке отлично видно, что образовался прямоугольный треугольник О А 1 Н. По модулю катеты О А 1 Н и О Н равные, запись примет такой вид: | А 1 H | = | у | , | О Н | = | х | . Гипотенуза О А 1 имеет значение равное радиусу единичной окружности, | О А 1 | = 1 . Используя данное выражение, можем записать равенство по теореме Пифагора: | А 1 Н | 2 + | О Н | 2 = | О А 1 | 2 . Это равенство запишем как | y | 2 + | x | 2 = 1 2 , что означает y 2 + x 2 = 1 .
Используя определение sin α = y и cos α = x , подставим данные угла вместо координат точек и перейдем к неравенству sin 2 α + cos 2 α = 1 .
Основная связь между sin и cos угла возможна через данное тригонометрическое тождество. Таким образом, можно считать sin угла с известным cos и наоборот. Чтобы выполнить это, необходимо разрешать sin 2 α + cos 2 = 1 относительно sin и cos , тогда получим выражения вида sin α = ± 1 - cos 2 α и cos α = ± 1 - sin 2 α соответственно. Величина угла α определяет знак перед корнем выражения. Для подробного выяснения необходимо прочитать раздел вычисление синуса, косинуса, тангенса и котангенса с использованием тригонометрических формул.
Чаще всего основную формулу применяют для преобразований или упрощений тригонометрических выражений. Имеется возможность заменять сумму квадратов синуса и косинуса на 1 . Подстановка тождества может быть как в прямом, так и обратном порядке: единицу заменяют на выражение суммы квадратов синуса и косинуса.
Тангенс и котангенс через синус и косинус
Из определения косинуса и синуса, тангенса и котангенса видно, что они взаимосвязаны друг с другом, что позволяет отдельно преобразовывать необходимые величины.
t g α = sin α cos α c t g α = cos α sin α
Из определения синус является ординатой у, а косинус – абсциссой x . Тангенс – это и есть отношения ординаты и абсциссы. Таким образом имеем:
t g α = y x = sin α cos α , а выражение котангенса имеет обратное значение, то есть
c t g α = x y = cos α sin α .
Отсюда следует, что полученные тождества t g α = sin α cos α и c t g α = cos α sin α задаются с помощью sin и cos углов. Тангенс считаются отношением синуса к косинусу угла между ними, а котангенс наоборот.
Отметим, что t g α = sin α cos α и c t g α = cos α sin α верны для любого значение угла α , значения которого входят в диапазон. Из формулы t g α = sin α cos α значение угла α отлично от π 2 + π · z , а c t g α = cos α sin α принимает значение угла α , отличные от π · z , z принимает значение любого целого числа.
Связь между тангенсом и котангенсом
Имеется формула, которая показывает связь между углами через тангенс и котангенс. Данное тригонометрическое тождество является важным в тригонометрии и обозначается как t g α · c t g α = 1 . Оно имеет смысл при α с любым значением, кроме π 2 · z , иначе функции будут не определены.
Формула t g α · c t g α = 1 имеет свои особенности в доказательстве. Из определения мы имеем, что t g α = y x и c t g α = x y , отсюда получаем t g α · c t g α = y x · x y = 1 . Преобразовав выражение и подставив t g α = sin α cos α и c t g α = cos α sin α , получим t g α · c t g α = sin α cos α · cos α sin α = 1 .
Тогда выражение тангенса и котангенса имеет смысл того, когда в итоге получаем взаимно обратные числа.
Тангенс и косинус, котангенс и синус
Преобразовав основные тождества, приходим к выводу, что тангенс связан через косинус, а котангенс через синус. Это видно по формулам t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α , 1 + c t g 2 α = 1 sin 2 α .
Определение звучит так: сумма квадрата тангенса угла и 1 приравнивается к дроби, где в числителе имеем 1 , а в знаменателе квадрат косинуса данного угла, а сумма квадрата котангенса угла наоборот. Благодаря тригонометрическому тождеству sin 2 α + cos 2 α = 1 , можно разделить соответствующие стороны на cos 2 α и получить t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α , где значение cos 2 α не должно равняться нулю. При делении на sin 2 α получим тождество 1 + c t g 2 α = 1 sin 2 α , где значение sin 2 α не должно равняться нулю.
Из приведенных выражений получили, что тождество t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α верно при всех значениях угла α , не принадлежащих π 2 + π · z , а 1 + c t g 2 α = 1 sin 2 α при значениях α , не принадлежащих промежутку π · z .
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Примеры тождеств:
\(2(x+5)=2x+10\);
\(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\);
\(1-\sin^2x=\cos^2x\).
А вот выражение \(\frac{x^2}{x}=x\) является тождеством только при условии \(x≠0\) (иначе левая часть не существует).
Как доказывать тождество?
Рецепт до одури прост:
Чтобы доказать тождество нужно доказать, что его правая и левая части равны, т.е. свести его к виду «выражение» = «такое же выражение».
Например,
\(5=5\);
\(\sin^2x=\sin^2x\);
\(\cosx-4=\cosx-4\).
Для того, чтоб это сделать можно:
- Преобразовывать только правую или только левую часть.
- Преобразовывать обе части одновременно.
- Использовать любые допустимые математические преобразования (например, приводить подобные; раскрывать скобки; переносить слагаемые из одной части в другую, меняя знак; умножать или делить левую и правую часть на одно и то же число или выражение, не равное нулю и т.д.).
- Использовать любые математические формулы.
Именно четвертый пункт при доказательстве тождеств используется чаще всего, поэтому все нужно знать, помнить и уметь использовать.
Пример
. Доказать тригонометрическое тождество \(\sin2x=2\sinx\cdot \cos{x}\)
Решение
:
Пример
. Доказать, что выражение \(\frac {\cos^2{t}}{1-\sin{t}}\)
\(-\sin{t}=1\) является тождеством.
Решение
:
Пример
. Доказать тригонометрическое тождество \(1-tg^2 t=\)\(\frac{\cos2t}{\cos^2t}\)
Решение
:
\(1-tg^2 t=\)\(\frac{\cos2t}{\cos^2t}\) |
Здесь будем преобразовывать только правую часть, стремясь свести ее к левой. Левую же оставляем неизменной. Вспоминаем . |
|
\(1-tg^2 t=\) |
Теперь сделаем почленное деление в дроби (т.е. применим в обратную сторону): \(\frac{a+c}{b}\) \(=\) \(\frac{a}{b}\) \(+\)\(\frac{c}{b}\) |
|
\(1-tg^2 t=\)\(\frac{\cos^2t}{\cos^2t}\) \(-\)\(\frac{\sin^2t}{\cos^2t}\) |
Первую дробь правой части сократим, а ко второй применим : \(\frac{a^n}{b^n}\) \(=\)\((\frac{a}{b})^n\) . |
|
\(1-tg^2 t=1-\)\((\frac{\sint}{\cost})^2\) |
Ну, а синус деленный на косинус равен того же угла: \(\frac{\sinx}{\cosx}\)
\(=tg x\) |
|
\(1-tg^2 t=1-tg^2 t\) |
Пример
. Доказать тригонометрическое тождество \(=ctg(π+t)-1\)
Решение
:
\(\frac{\cos2t}{\sint\cdot\cost+\sin^2t}\) \(=ctg(π+t)-1\) |
Здесь будем преобразовывать обе части: |
|
\(\frac{\cos^2t-\sin^2t}{\sint\cdot\cost+\sin^2t}\) \(=ctg\:t-1\) |
Теперь работаем только с левой частью. |
|
\(\frac{(\cost-\sin{t})(\cost+\sin{t})}{\sint(\cost+\sin{t})}\) \(=ctg\:t-1\) |
Сократим дробь на \(\cos{t}+\sin{t}\). |
|
\(\frac{\cost-\sin{t}}{\sint}\) \(=ctg\:t-1\) |
Почленно разделим дробь, превратив ее в две отдельные дроби. |
|
\(\frac{\cost}{\sin{t}}-\frac{\sin{t}}{\sin{t}}\) \(=ctg\:t-1\) |
Первая дробь это , а вторая равна единице. |
|
\(ctg\:t-1=ctg\:t-1\) |
Левая часть равна правой, тождество доказано. |
Как видите, все довольно несложно, но надо знать все формулы и свойства.
Как доказать основное тригонометрическое тождество
Два простых способа вывести формулу \(\sin^2x+\cos^2x=1\). Нужно знать только теорему Пифагора и определение синуса и косинуса.
Ответы на часто задаваемые вопросы:
Вопрос:
Как определить, что в тождестве надо преобразовывать – левую часть, правую или обе вместе?
Ответ:
Нет никакой разницы – в любом случае вы получите один и тот же результат. Например, в третьем примере мы легко могли бы получить из левой части \(1-tg^2 t\) правую \(\frac{cos2t}{cos^2t}\)
(попробуйте сделать это сами). Или преобразовывать обе, с тем чтоб они «встретились посередине», где-то в районе \(\frac{\cos^2t-\sin^2t}{\cos^2t}\)
\(=\)\(\frac{\cos^2t-\sin^2t}{\cos^2t}\)
. Поэтому вы можете доказывать любым удобным вам способом. Какую «тропинку» видите – по той и идите. Главное только – преобразовывайте «законно», то есть понимайте на основании какого свойства, правила или формулы вы делаете очередное преобразование.